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《华中科技大学》 2007年
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由连续鞅驱动的耦合的正倒向随机微分方程

肖陈  
【摘要】: 线性倒向随机微分方程是由Bismut于1978年首次提出的。Pardoux和Peng在1990年获得了非线性倒向随机微分方程在Lipschitz条件下解的存在唯一性定理。随后,许多学者进一步研究了倒向随机微分方程及其在数理金融,随机控制,偏微分方程,随机微分对策和经济等领域的应用。现在倒向随机微分方程理论不仅被广泛地认为是研究金融数学(例如,期权和衍生定价证券问题)的重要工具,而且也是研究随机控制,随机对策和非线性偏微分方程解的概率表示问题等的有效工具。经典的倒向随机微分方程理论是以Brown运动为干扰源的,而Brown运动是一种非常理想化的随机模型,致使经典的倒向随机微分方程的应用上受到很大的限制。 本文对经典的正倒向随机微分方程进行实质性的推广,将其干扰源由Brown运动推广为连续鞅,讨论了由连续鞅驱动的耦合的正倒向随机微分方程的若干问题。 由Brown运动驱动的耦合的正倒向随机微分方程首先是由Antonelli研究的。自从S.Peng和Zhen.Wu提出了完全耦合的的正倒向随机微分方程解的存在唯一性问题后,许多学者在此方面做了不懈的努力。在前人研究的基础上,在第三章中给出了了以连续鞅为干扰源的耦合的的正倒向随机微分方程解的存在唯一性条件,并利用纯概率方法给出了它的证明。研究这些问题时仍面临许多难题,例如,一般的鞅不再具有鞅表示定理的性质,也就是说,无法保证倒向随机微分方程解的存在性。对于这个问题,我们将通过假设鞅具有可料表示性来获得它。 Feynman-kac公式是随机分析中的一个很重要的公式。Peng利用经典的倒向随机微分方程对一大类二阶拟线性抛物型偏微分方程系统提供了一个概率解释,这一结果将著名的Feynman-kac公式推广到了非线性情形,即非线性Feynman-kac公式,它给出了常见的倒向随机微分方程的解与非线性偏微分方程的解的对应关系。在本文中,利用Ocone鞅的特殊性质,讨论了由Ocone鞅驱动的耦合的正倒向随机微分方程并把它和一类耦合了一个代数方程的拟线性抛物型偏微分方程系统联系起来,同时还给出了Feynman-kac公式的一个推广。
【学位授予单位】:华中科技大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2007
【分类号】:O211.63

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