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二维椭圆—抛物趋化性模型解的范数性质

孙贵玲  
【摘要】: 生物数学主要以生态系统为研究对象,而生态系统的一个主要特征就是其中的个体能感受到外界刺激并作出相应的反应,这种特性在生物学中称为趋向性.我们已经知道的趋向性有趋光性,趋氧性,趋地性,趋化性,趋触性等多种不同的类型.本文介绍的是受到许多数学家和生物学家广泛关注的趋化性模型.趋化性就是生物个体为了能够更好的生存而趋向于有利的化学物质远离有害物质的特性.事实上,趋化性不仅在昆虫等动物的生态系统中十分重要而且很多实例都证明了趋化性在生物进程中同样至关重要.例如当一个被感染的细菌侵入人体内时由于趋化性的作用它就会受到体内其他细胞的攻击.一个最常见的例子就是当人体某一部位感染时这个区域内的白血球细胞个数明显增多.近来人们发现肿瘤附近血管网的形成也与趋化性有关.因此可以说趋化性模型与医学也有极为密切的联系,研究趋化性模型在医学上也有重要的实际意义. 现在广泛研究的趋化性模型是1970年由Keller和Segel提出来的由一种单细胞的粘性变形虫展示出来的所谓的K-S模型.这种变形虫趋向于由其自身产生的一种化学物质c-AMP的高浓度区域.许多文章已经对该模型作了深刻的研究,我们已经知道对某些特定的方程,限制在二维空间讨论时存在一个临界值π~*/αχ.当∫_Ωu_0(x)dxπ~*/αχ时该模型的解全局存在,当∫_Ωu_0(x)dxπ~*/αχ时在某些附加条件下解在有限时间内发生爆破.本文主要考虑的是K-S模型当ε=0且在主方程后加上反应项αu-βv时的情形.本文讨论了解的局部的和整体的存在性,正则性以及解的爆破性质以及是否还存在临界值的问题.本文首先利用解析半群和扇形算子的有关性质讨论了模型的等价形式的局部解存在性,进而讨论了解的正则性,同时也得出了u和v的非负性质.后一部分主要通过讨论二阶矩的性质以及矩的估计式讨论了aα≥bβ时的情况,发现反应项对K-S模型有相当大的影响,但此时门槛值仍然存在.


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