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《华中科技大学》 2009年
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多值随机微分方程

徐嗣棪  
【摘要】: 在过去的近二十年中,多值随机微分方程越来越受到关注.本文考虑一类特殊的多值随机微分方程,即多值极大单调算子下的多值随机微分方程.这种多值极大单调算子的一个特殊例子是闭凸函数的下微分算子,所以本文考虑的多值随机微分方程包含了在凸区域内具有反射边界的随机微分方程.另一方面,多值随机微分方程与随机变分不等式有着紧密联系. 在C(?)pa等人的基础上,本文考虑了这类多值随机微分方程的一些相关性质.具体可以包括以下几个方面的内容: (1)应用Doss的方法,在一维情形下得到了这类多值随机微分方程的一个显式解.即通过解一个常微分方程和一个多值常微分方程得到这类多值随机微分方程的解.此时所碰到的多值常微分方程并没有直接的解的存在唯一性,为此先证明此方程的存在唯一性.作为显示解的一个应用例子,给出具有相同扩散系数的两个多值随机微分方程解的比较定理. (2)在多维情形下,考虑了多值随机微分方程解的极限定理,从而再次把常微分方程的性质过度到随机方程的性质.主要运用Meyer-Zheng拓扑,Kurtz引理以及弱解和鞅问题的等价性等方法.由此还对C(?)pa得到的解的存在唯一性给出了一个新的证明. (3)类似Ikeda和Watanabe的方法,得到多值随机微分方程解的Denjoy连续逼近性质. (4)证明了非Lipschitz系数下一维多值随机微分方程解的存在唯一性.其中对于轨道唯一性,我们运用Tanaka公式及Le Gall的方法.此外,在短时间区间上给出了方程解的一个二元连续修正.最后,应用Ren和Zhang的方法,在长时间区间上也得到了解的一个二元连续修正. (5)因为一维情形下多值随机微分方程有显式解,应用压缩原理,C(?)pa只在一维情形下考虑了多值随机微分方程的大偏差原理.多维情形仍然是未知的.应用Dupuis和Ellis新发展的弱收敛方法,我们得到了单调漂移条件下多值随机微分方程的Freidlin-Wentzell大偏差问题.
【学位授予单位】:华中科技大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2009
【分类号】:O211.63

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