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Gel'fand三元组上的Lévy白噪声和分数Lévy噪声

吕学斌  
【摘要】: 分数Brown运动的长相依,自相似性质使得它在金融,经济,网络通讯等领域有着广泛的应用,引起了人们的广泛关注。分数Brown运动可表示为由Riemann-Liouville分数积分算子确定的Volterra型核函数关于布朗运动的积分,借助此积分核函数关于0均值平方可积L(?)vy过程的积分可以构造更一般的分数L(?)vy过程,因而大大推广了分数过程的应用范围。 另一方面,由分数噪声驱动的偏微分方程的研究,需要构造无穷维向量空间上的分数过程,但是,迄今为止,只限于Hilbert空间上由分数Brown运动驱动的随机发展方程的研究。我们知道,取值于Hilbert空间V上的分数Brown运动存在的必要充分条件是它的协方差算子为核算子,否则,它将取值于一个更大的Hilbert空间V_1使得V连续稠密的嵌入V_1且嵌入映射为Hilbert-Schmidt的。很自然地,我们考虑取值于可列Hilbert核空间的对偶空间上的分数过程,最合适的空间结构就是Gel'fand三元组。 令H为实可分Hilbert空间,|·|_0和〈.,.〉分别为其上的范数和内积。A为H上正的自伴算子,且存在α>0使得A~(-α)为核算子。对(?)r∈R,定义|·|_r:=|A~r·|_0,令E_r为A~r的定义域关于|·|_r的完备化,则E_r为实可分Hilbert空间,E_r和E_(-r)互为对偶空间。令E为{E_r}_r(?)0的投影极限,E~*为{E_(-r)}_r>0的归纳极限,则E为可列Hilbert核空间且E~*为其对偶。记〈·,·〉为E~*×E上的典则双线性型,(?)~+≡(?)~+(E,E~*)为E到E~*上的正的连续线性算子,E(?)H(?)E~*称为由(H,A)生成实Gel'fand三元组。本文采用这样的三元组作为基本框架是因为: 1°它包含了常见的许多无穷维向量空间,如Schwartz缓增广义函数空间、Hida白噪声广义泛函空间等,也是有限维欧氏空间的自然推广; 2°其核空间结构使我们可以灵活地使用拓扑张量积、Bochner-Minlos定理、Schwartz核定理、It(?)正则化定理等,克服构造中的一系列困难。 以下是本文的几个主要结论: 结论一令E (?)H(?) E~*为由(H,A)生成实Gel'fand三元组。对于给定α∈E~*,Q∈(?)+和E~*上的测度v,其中v的支撑为E_(-p)且满足则存在q>0和E~*上的无穷可分分布μ,使得我们称(α,Q,v)为μ的生成三元组,v为L(?)vy测度。 这样,我们得到了E~*上最一般的无穷可分分布特征泛函的表达式,特别地,我们构造了E~*上的稳定分布。然后,我们定义了E~*-值的L(?)vy过程,并给出其L(?)vy-It(?)分解。利用再生核Hilbert空间技巧,我们构造了一类特殊的算子值过程关于平方可积的L(?)vy过程的随机积分。 结论二基于E~*上无穷可分分布特征泛函的表达式,我们定义了E~*-值的L(?)vy白噪声。设X={X_t,t∈R}为(α,Q,v)生成的E~*-值L(?)vy过程,其中α∈E~*,Q∈(?)~+,L(?)vy测度v满足∫_(|x|_(-p)>1)|x|_(-p)dv(x)<∞,X_1的特征指数ψ由结论一给出。则对(?)f∈L~1(R)∩L~2(R),为E~*-值R.V.使得则{(?)(f),f∈S(R)}为E~*-值缓增白噪声,我们称其为E~*-值的L(?)vy白噪声。 结论三由结论二以及Riemann-Liouville分数积分算子I~β_的连续性,我们构造了一个新的E~*-值(缓增)广义过程作为E~*-值的L(?)vy白噪声的泛函,称为E~*-值的分数L(?)vy噪声。在结论二的条件下,定义则{(?)~β(f),f∈S(R)}为E~*-值(缓增)广义过程(我们称为E~*-值β-分数L(?)vy噪声)。而且,特别地,对示性函数f=1_([0,t]),只要下面积分存在,我们就可以定义如下的E~*-值β-分数L(?)vy过程{X_t~β,t(?)0}: 结论四特别地,当E~*-值的L(?)vy过程X平方可积时,作为缓增的L(?)vy白噪声的泛函,我们研究了E~*-值的分数L(?)vy过程{X_t~β:=(?)~β(1_([0,t])),t(?)0}的样本轨道性质和分布性质,证明了分数L(?)vy过程具有平稳增量性,长相依性质,对一类特殊的算子值过程讨论关于分数L(?)vy过程的随机积分,给出分数L(?)vy过程的新息表示。并将E~*-值分数L(?)vy过程作了推广,定义了组合分数L(?)vy过程和多分数L(?)vy过程。 结论五上述方法和结论可特别方便地推广到多维时间参数情形,在E~*上无穷可分分布的一阶矩存在的条件下,我们构造了E~*-值L(?)vy随机场。并利用Riesz位势,Riesz多重位势以及多变量型的Riemann-Liouville分数积分算子,构造了Gel,fand三元组上各向同性分数L(?)vy随机场,各向异性分数L(?)vy随机场以及多参数分数L(?)vy过程,并分别研究了它们的性质(Euclid不变性,长相依性,自相似性,平稳增量性等)。


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