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Copula理论与相关性分析

吴娟  
【摘要】:本文主要研究利用Copula理论分析多维随机变量的相关性及其应用。Copula是一个“连接”多维联合分布及其边缘分布的函数,其优点主要有两点:第一,它能完整地刻划变量之间的相关性结构;其次,它可以将单个随机变量的边缘分布与变量间的相关结构拆开来处理,然后再加以整合,这样能生成灵活多样的高维概率分布。论文首先分析了多元Copula函数的特点,然后基于Copula理论研究了随机变量的相关性,探讨了多元Copula参数模型的选择问题,以及利用Copula函数在多元极值理论中获得了一些成果,最后研究了Copula模型在金融和保险等领域的应用。 本文的创新点和主要工作如下: 1.深入分析了Copula理论在研究多变量的相关性中的重要作用,与传统的相关性分析方法相比,Copula函数所具有的优势和特点。讨论了当边缘分布是连续和非连续的两种情形时Sklar定理的不同结果,并用一种新的方法更简单地证明了此定理。利用Copula理论研究了Kendall'sτ系数与Spearman'sρ系数之间的关系,得到了两者比值ρ/τ变化的不等式。针对一类Copula参数族,证明了比值ρ/τ的极限值是3/2。 2.如何选取合适的Copula函数来描述多维随机变量的相关性结构是目前Copula理论研究中的一个难题。论文讨论了一类多元Copula参数模型的选择问题,其Copula函数能与一个一元函数构成一一对应的关系,从而达到降维的目的。研究了4种此类常见的Copula模型的性质和图形,并分别在参数已知或未知两种情况下进行了拟合优度检验。对中国股市的上证指数与深证综指作了实证分析,结果表明两者存在着较强的正相关性,相关性模型选取Gumbel Copula模型最合适。 3.多元极值理论的研究比较复杂,特别是当多个随机变量不是相互独立时,联合分布的极值行为除了要考虑边缘分布的极值性质外,更重要的是要分析变量之间的相关性。因此,相关性分析在多元极值理论研究以及金融与保险等应用领域中都扮演着重要角色,其中对尾部相关性的研究尤为引人关注。针对金融数据呈现出的尖峰、厚尾等特点,论文利用一种特殊的Copula—极值Copula函数,得到了两个多维随机向量的最大量的相关结构,并把此结果应用到了巨额医疗索赔中,构建了计算再保险费用的模型。结果显示:选择恰当的极值Copula来计算再保险费用在各种方案中是最优的。


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