特征标环的谱及Basic Morita等价

【摘要】：本文研究两个问题：有限群上三类特征标环的谱的连通分支和两个有限群的块代数之间的basic Morita等价. 首先,我们研究有限群上三类特征标环的谱,证明了它们的连通分支的个数等于某些特定的共轭类的个数. 设G为任意有限群,K是复数域C上的任意一个给定的子域.令R(G)是G的所有不可约复特征标生成的环,RK(G)是G的所有不可约K-特征标生成的环,而RK(G)={f∈R(G)|f(x)∈K,x∈G}. 设π是一些有理素数的集合.将整数环Z关于π的局部化记作Zπ,把G的指数记作eG.再设h是G的指数eG的一个倍数,用ωh记h次本原单位根.那么在整扩张zπ[ωh]中,π里面的有理素数都不可逆而其他有理素数都是可逆的.设S是复数域C的一个子环且满足s∩Q(ωh)∩K=Zπ[ωh]∩K. 我们在一定条件下构造了群G在域K上的一个特殊的函数；然后,利用本原幂等元与连通分支一一对应的关系,我们证明了交换环Zπ[ωh](?)z RK(G)的谱的连通分支的个数等于群G的π-正则K-类的个数.而对于环S(?)ZRK(G),我们可以证明它与环zπ[ωh](?)ZRK(G)具有相同的幂等元,因此也得到环S(?)ZRK(G)的谱的连通分支的个数等于群G的π-正则K-类的个数. 进一步,我们证明了环zπ[ωh](?)ZRK(G)实际上是环zπ[ωh](?)Z R(G)在某个Galois群作用下的稳定子环,通过Galois作用可以计算出环zπ[ωh](?)ZRK(G)上的幂等元,从而证明了环zπ[ωh](?)ZRK(G)的谱的连通分支的个数等于群G的π-正则K-类的个数.环S(?)ZRK(G)与环Zπ[ωh](?)ZRK(G)也具有相同的幂等元,因此证明了其连通分支个数也等于群G的π-正则K-类的个数. 本文研究的另一个问题是：从模的角度对basic Morita等价的局部性质给出了一个精确的刻画,证明了实现这些局部子群相应块代数之间的basic Morita等价的模恰好通过诱导和限制相互联系. 设G和G'是两个有限群,p是一个有理素数,k是特征为p的代数闭域.设b和b'分别为群代数kG和kG'的块幂等元.假设块代数kGb和kG'b'是basic Morita等价的.文献[29]中证明了群G和G'中的某些特殊子群的块代数之间也有相应的basic Morita等价.本文中,我们研究了这些块代数的basic Morita等价之间的相互关系,通过分次模和其1-分量之问的关系以及源代数的性质,找到了一个模使得其诱导模和限制模刚好诱导了相应的basic Morita等价,从而给出了这些basic Morita等价一个精确的刻画.