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出现在辐射气体中的一个双曲椭圆耦合方程组解的渐近行为

阮立志  
【摘要】: 本文主要研究了如下出现在n维辐射气体中的一个双曲椭圆耦合方程组的Cauchy问题初始条件为u(x,0)=u(x_1,…,x_n,0)=u_0(x_1,…,x_n)→u_±,x_1→±∞(0.1.2)解的渐近行为,其中u_±是给定的常状态,a∈R~n是常向量,u,g是关于空间变量x=(x_1,x_2,…,x_n)∈R~n和时间变量t的未知函数.u=u(x,t)和q=(q_1,…,q_n)(x,t)分别表示气体的速度和辐射热流. 系统(0.1.1)是n维辐射气体运动模型的简化模型.精确的说,在特定的物理条件下,系统(0.1.1)给出了描述辐射气体运动的基本系统的一个很好的近似,其中基本系统是一个考虑了热辐射转换现象的非常一般的可压缩气体动力学模型,描述该模型的方程为一个双曲椭圆耦合方程组,即通常的Euler方程组耦合一个考虑了热辐射转换现象的方程其中ρ,u,p,e和θ分别是气体的质量密度,速度,压力,内能和绝对温度,而q是辐射热流,a和b是仅依赖于气体自身的给定的正常数.前三个方程是通常的Euler方程组,描述了可压缩流体的无粘性流,分别刻画了质量守恒,动量守恒和能量守恒(见参考文献[5]).关于Euler方程组的研究是非常古老的课题.然而第四个方程考虑了热辐射现象,其物理意义和物理推导可见参考文献[15,79]. 首先,对于具有相同末端状态u_-=u_+=0的情形,当1≤n8时,基于连续性技巧,我们利用局部存在性和一系列先验估计证明了Cauchy问题(0.1.1),(0.1.2)的整体解的存在性和唯一性.然后,对于n=1,2,3,运用L~2能量方法和几个插值不等式获得了解的L~p衰减估计;对于3n8,利用上L~p能量方法和几个插值不等式也获得了L~p衰减率.并且,当1≤n8时,用半群方法获得解对扩散波的最优衰减率. 其次,对于具有不同末端状态u_-u_+的情形,当n=1,2,3时,利用L~2能量方法我们集中研究了平面稀疏波的渐近稳定性,同时也结合L~1估计获得了L~∞收敛率. 不论是u_-=u_+=0还是u_-u_+的情形,问题的困难在于高阶L~p能量估计.另外,对于u_-=u_+=0中3n8的情形,W~(3,p)估计也是一个根本的困难.然而,我们幸运地发现系统(0.1.1)能转化成一个高阶单个守恒律方程,这是我们克服困难的一个关键.


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