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《湘潭大学》 2013年
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控制系统中的非线性矩阵方程的约束解及其数值算法

张娟  
【摘要】:固体力学、参数识别、自动控制等领域的理论与实际应用中的许多问题,常常可转化为研究相关的矩阵性质及矩阵方程.在控制系统中,稳定性、可控性等许多重要特性的探讨可转化为讨论相应的非线性矩阵方程的约束解.我们将探讨控制系统中的Riccati矩阵方程的约束解及其数值算法. 本文给出了连续代数Riccati矩阵方程解的数值界估计,得到了代数Riccati矩阵方程和耦合代数Riccati矩阵方程解的上下界估计,进一步利用得到的上下界,讨论了离散代数Riccati矩阵方程和离散耦合代数Riccati矩阵方程解的存在唯一性与不动点迭代算法. 第一章介绍了Riccati矩阵方程的应用背景和研究现状,给出本文所涉及的记号和定义. 第二章利用控制不等式方法和经典的特征值不等式,将一些问题转化为讨论相应的一元二次不等式,结合Holder (Cauchy-Schwarz)不等式与不等式的放缩技巧,分别讨论了系数矩阵为半正定和非半正定情形下,连续代数Riccati矩阵方程解的特征值的和与迹的上下界估计.数值例子验证了所得结论的有效性. 第三章首先通过构造连续代数Riccati矩阵方程的等价形式,利用矩阵和与积的特征值及奇异值不等式,给出了连续代数Riccati矩阵方程解的上下界估计,以及其矩阵级数的下界估计.利用矩阵Schur补的性质来构造离散代数Riccati矩阵方程的等价形式,结合矩阵不等式的放缩技巧,给出了离散代数Riccati矩阵方程解的上下界估计.进一步,用不动点定理和给出的离散代数Riccati矩阵方程解的界,给出了离散代数Riccati矩阵方程解的不动点迭代算法. 第四章利用经典的矩阵不等式来构造连续耦合代数Riccati矩阵方程的等价形式,进而运用M-矩阵和非负矩阵的性质来解矩阵不等式,给出了连续耦合代数Riccati矩阵方程解的上下界估计,从理论上证明了获得的上界估计无论是限制条件还是结论上都改进和推广了已有的一些结果,并得到了连续耦合代数Riccati矩阵方程迭代解上界的算法,数值例子验证了所得结论的有效性.运用特殊的矩阵等式和特殊矩阵的不等式技巧,获得了离散耦合代数Riccati矩阵方程解的一个上界估计,证明了该上界估计从条件和结果两方面改进了已有的结果.最后,利用M-矩阵的等价条件与离散耦合代数Riccati矩阵方程的等价形式,给出了离散耦合代数Riccati矩阵方程解的上下界估计. 第五章首先利用Frobenius范数的性质与范数空间的相关性质,结合紧算子的特点和不动点定理,采用Cauchy-Schwart s不等式及第四章得到的离散耦合代数Riccati矩阵方程解的上下界,给出了离散耦合代数Riccati矩阵方程解的几个存在唯一性条件.进一步,利用Cauchy序列的特点与三角不等式,采用数学归纳法和矩阵序列收敛的定义,在精度允许的范围内,得到了离散耦合代数Riccati矩阵方程解的几个不动点迭代算法.最后用数值例子说明了所得结果的有效性.
【学位授予单位】:湘潭大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2013
【分类号】:O241.6

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