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《湘潭大学》 2009年
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椭圆及抛物最优控制问题有限元方法的超收敛性质

戴永泉  
【摘要】:最优控制问题在现实生活中广泛存在,如温度控制问题、空气污染控制问题、Stokes流控制问题和电气化学机器设计问题等等。因此研究这类问题的高效的数值计算方法就显得非常重要。目前已有很多的数值计算方法可以用来求解最优控制问题,而有限元方法是研究最广泛的一种。关于这方面的研究已有很多的工作。在已有的文献中,大多是研究最优控制问题有限元方法的先验和后验误差估计,而研究其超收敛性质的文章比较少,尤其是对非线性最优控制问题超收敛性质的研究。而超收敛分析在偏微分方程的数值求解中非常重要。 本文中,我们研究了几类椭圆与抛物最优控制问题有限元方法的超收敛性质,并通过数值算例验证了我们的理论结果。本文的主要工作如下: 第一部分,我们研究半线性椭圆型最优控制问题。首先我们将求解泛函极小问题转变成求解状态方程,对偶状态方程和变分不等式组成的联立系统。由于控制变量与状态变量和对偶状态变量具有不同的正则性,我们需要采用不同的有限元空间进行逼近。对控制变量我们采用分片常数函数来逼近,对状态变量和对偶状态变量我们采用分片线性函数来逼近。通过对半线性椭圆最优控制问题的一些合理假设,并引入中间变量将误差分解成几部分来考虑,我们得到了半线性椭圆二次泛函最优控制问题有限元方法的超收敛性质,并给出了控制变量和状态变量超收敛结果的一些应用。最后,我们将半线性椭圆二次泛函最优控制问题的结果推广到了一般凸泛函的情形。对于半线性椭圆二次泛函以及一般凸泛函最优控制问题,我们都构造了相应的数值算例来验证我们的理论结果。 第二部分,我们研究抛物型最优控制问题。首先我们证明了线性情形下抛物最优控制问题半离散格式有限元方法的超收敛性质。接着,我们研究了半线性情形下抛物最优控制问题半离散格式有限元方法的超收敛性质。在这些工作中,我们需要对目标泛函作一些假设,并通过引入中间变量将误差分解成几部分来考虑。然后,利用对目标泛函的假设以及前面得到的中间变量的误差估计,我们证明了控制变量,状态变量和对偶状态变量有限元解和真解的投影之间均存在超收敛性质。
【学位授予单位】:湘潭大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2009
【分类号】:O241.82

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