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《湖南大学》 2011年
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几类非线性问题的多重网格解法

禹海雄  
【摘要】:非线性问题来源非常广泛,在工程、机械、物理、最优控制等领域都有应用.在现代科学技术中非线性问题变得越来越重要了,它的数值解法特别是大规模问题的数值解法的研究已成为工程界和计算数学界一个非常热门的课题.人们希望对离散后的n维方程组用O(n)次乘除运算就能得到所需精度的解.而多重网格法首次实现了这个目标,成为求解大规模问题最有效的方法.近几十年来,经典的多重网格法已经比较成熟,在求解非线性问题上取得很多重要成果.本文将研究半线性椭圆问题和非光滑椭圆问题的多重网格解法. 对于一般的半线性椭圆问题,通常要求其半线性项必须足够光滑或为C2连续,因此,降低半线性项的光滑性十分重要.在第2章,我们考虑了半线性项导数局部H¨older连续时的半线性椭圆问题的数值求解.我们首先对这类问题进行有限元离散,得到其标准有限元误差估计.我们然后用瀑布型多重网格法求解相应的离散问题,证明了算法具有能量范数意义下的最优收敛阶和拟最优计算复杂度.数值实验表明了算法是非常有效的. 在第3章,我们提出了求解半线性椭圆问题的集中质量瀑布型多重网格算法.首先用集中质量方法对半线性椭圆问题进行离散,得到了集中质量有限元逼近形式的L2误差估计.用集中质量方法离散半线性椭圆问题具有两大优点:一方面,集中质量方法离散所得的离散方程组的非线性函数的Jacobi矩阵很好计算,因为离散所得的方程是一个线性函数和一个对角非线性函数的和;另一方面,我们能构造一些具有单调收敛性的迭代形式来求解相应的离散方程组.基于之前的集中质量有限元误差估计,我们证明了集中质量瀑布型多重网格算法的最优性.我们也用数值实验表明了这一点. 在第4章,我们研究了非光滑椭圆方程的非光滑牛顿多重网格算法.我们首先考虑此类问题的有限元方法,给出其有限元逼近格式的误差估计.一般情况下,非光滑牛顿型方法被用于求解相应的离散问题.而当网格加密时,相应的牛顿子方程的系数矩阵条件数就会变坏,数值上不易于求解.而且,当离散问题的规模很大时,精确求解子问题需要很大的计算工作量.因此,本章中,我们将在每个牛顿步采用多重网格技巧来求解相应的牛顿方程.在适当的条件下,我们证明了算法的网格无关收敛性及最优性.大量的数值实验验证了我们所得到的有限元误差估计结果,并且也充分说明了算法的有效性.数值结果表明,当网格步长h越来越小的时候,和经典的非光滑牛顿法或是有效集方法相比较,非光滑牛顿多重网格算法所消耗的CPU时间大大减少,从而节约了计算工作量. 在第5章,我们提出了光滑化牛顿多重网格算法用于求解非光滑椭圆方程.光滑化牛顿法的一个优点就是它的全局收敛性.而当离散问题的规模很大时,精确求解或是一般的迭代求解每个牛顿步的子问题需要很大的工作量.因此,多重网格技巧再次被用来求解相应的牛顿子问题.大量的数值实验表明,我们所提出的光滑化牛顿多重网格算法对于不同的光滑化函数都是收敛的,并且当网格加密时,算法的运算速度明显高于已有的光滑化牛顿法.
【学位授予单位】:湖南大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2011
【分类号】:O241.82

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【参考文献】
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