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基于FreeFEM++的一阶有限元解法

杜世森  
【摘要】:常规的有限元法通常首先假设位移场函数,在每一个单元中设定有限个点,将连续体看作是只在结点处相连接的一组单元的集合体,同时选定场函数的结点值作为基本未知量,然后利用力学中的某些变分原理去建立用以求解结点未知量的有限元方程,通过对有限元方程的求解得出整个集合体上的结点位移。各应力分量则是由对位移求导获得的,这就造成了求得的应力精度比位移精度呈数量级的下降。这些引起人们对应力精度的关注,在提高整体精度的同时,如何使应力精度与位移精度同阶成为重要的课题。 本文在前人研究成果的基础上,提出了基于FreeFEM++的一阶有限元算法,使得应力精度与位移精度同阶,为有限元精度的提高提出了行之有效的方法,主要研究内容如下: (1)首先整理收集了本课题相关资料,对弹性力学求解方法进行了概述,详细介绍了各种建立有限元格式的方法,对前人进行的有限元精度方面的研究进行了总结。在弹性力学求解新体系的框架下,建立了基于弱形式的求解理论,为研究多变量弱形式解法提供了理论依据。 (2)研究并应用有限元软件FreeFEM++,通过对算例的计算分析,详细介绍了该软件的基本语法和计算原理。 (3)对弹性力学二维问题分别推导出其二阶弱形式和一阶弱形式,结合各种典型算例,对两种算法进行对比分析,其中二阶弱形式对应常规有限元解,一阶弱形式为多变量变分形式解法,通过实例对比其精度,可以直观的看到一阶算法使得应力精度与位移精度同阶,并且应力精度明显高于二阶算法,充分证明了本文提出方法的有效性和优越性。将二维问题的弹性力学一阶算法成功推广至三维问题的弹性力学一阶算法,并达到预期的效果。


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