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关于两类非线性椭圆型偏微分方程解的研究

杜卓然  
【摘要】:本文主要研究两类非线性椭圆偏微分方程的解。第一类是奇异椭圆方程。这类方程来自于对薄膜平衡状态模型的刻画。我们得到了有初值条件时这类奇异椭圆方程经典径向解的存在唯一性结果,与奇异(奇性发生在原点)径向解的存在性结果。还研究了这些径向解的振荡性及其在无限远处的极限情形。其中奇异径向解的研究对于涂料工业具有重要的意义。第二类是在二维空间中的有界区域内带有Neumann边界条件的Allen-Cahn方程。我们研究了其内部层解。 第一章,简单介绍了所研究问题的背景及本文的主要结果。也交代了文中需要用到的一些概念与基本定理,还包含有全文的结构安排。 第二章,我们研究奇异椭圆方程的经典径向解,其中r=|x|。由于该方程的非线性项含有负指数幂,我们需要谨慎讨论该问题的“解”。我们先给出该方程解的定义。若一非负连续函数u≠0且在开集{x∈RNN,u(x)0}中满足方程,则我们称u为该方程的解。我们在本章得到了:对任意的0,该问题存在唯一的经典径向解u(r)满足u(0)=η,且解u(r)有振荡性质与极限结果。在考虑极限情形时,我们根据解u(r)的三种可能情形进行讨论,并得到了解在三种情形中都有相同的极限结果。 第三章,我们首先得到奇异解在原点处的增长率结果。然后通过压缩映照原理证明了前面奇异椭圆问题奇异径向解的存在性。奇异径向解的振荡性质与极限结果可用类似第二章的方法得到。 第四章,我们研究如下带有Neumann边界条件的非齐次Allen-Cahn方程的内部层解其中Q为R2中的有界光滑区域。我们用无限维Liapunov-Schmidt约化方法,得到了该问题有两个具有相反方向的内部层解的结论。我们的重点是需要得到其中一个层解,另外一个则可对称的得到。本章中我们需要多次构造问题的近似解以逐步提高其精度,及反复用到不动点原理。还将通过截断的办法将局部问题非局部化。 我们将遵循如下主要步骤。首先,我们通过多次构造问题的近似解,逐步降低误差。其次,再将原问题泰勒展开,得到线性算子。然后证明线性算子对于相应的投影问题是可逆的,且逆算子有界。再次,用上一步得到的逆算子及投影算子对泰勒展开式的两边复合作用,非线性投影问题就转化为一个不动点问题。然后用不动点原理证明该非线性投影问题有唯一解。最后,说明对应投影问题的解即为原问题的解。


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