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基于减基法的结构力学响应的快速计算方法研究

张正  
【摘要】:在科学研究和工程应用中,针对实际的结构响应分析问题,一般都是将连续结构系统通过一定的数值方式变为多自由度的离散结构系统。随着研究问题规模的扩大,对结构离散得到的自由度数就会增多,从而利用计算机通过常规方法进行结构响应分析的实时性就会降低。在此背景下,关于大规模结构系统响应的快速计算研究成为了一个值得关注的热点问题,而减基法在工程快速计算领域占据着重要的位置并发挥着相应重要的作用。 减基法的基本概念是利用参数域中参数样本点对应的响应构建减基空间,将原大规模结构系统通过一定合理的方式投影或者映射到减基空间中形成减缩模型,进而快速获得结构响应的逼近解。利用减基法快速计算结构静力响应的理论已经基本确立,但在工程应用中仍存在一些问题有待解决;同时,关于减基法快速分析结构动力响应问题的研究目前还尚不成熟。本文基于减基法概念从不同途径提出了三种快速计算结构动力响应的方法,同时还进一步完善了基于减基法的结构静力响应快速分析方法,主要工作如下: 1)从结构动力学方程入手,设计了一种快速求解结构动力响应的方法。针对参数样本点对应的动力响应,通过时间域积分构建三个不同的减基空间,利用时间域积分和最小二乘原理将原结构动力学方程同时在此三个不同的减基空间进行投影降阶,形成与时间因素无关的缩减的线性方程,求解该低阶线性方程得到权系数向量,进而在减基空间中回代权系数向量并通过线性组合方式得到结构动力响应的逼近解;该方法在保持高精度的同时极大地提高了动力响应的求解效率 2)针对结构模态分析问题,提出了一种快速计算模态固有特征值和固有振型的方法。针对单阶的模态,该方法首先利用参数样本点对应的特征向量形成相应的特征向量减基空间;利用Galerkin映射方法在减基空间中得到一个减缩的计算模型,进而快速求解获得结构的逼近特征值;利用剩余差向量的2-范数优化问题以及矩阵中的Rayleigh-Ritz定理在减基空间中得到另一个减缩的计算模型,结合已经求解得到的逼近特征值进而快速获得结构的逼近特征向量;最后将单阶模态问题的计算流程进行简单结合,从而得到多阶模态问题的计算流程。 3)从结构动力响应恢复的角度出发,设计了一种快速恢复结构动力响应的方法。该方法首先在结构系统的参数域采集参数样本点,并计算对应的动力响应形成减基空间;在构建的减基空间中利用线性插值原理形成与参数无关的插值矩阵;在输出响应中采集与参数样本点数量一致的输出响应点,通过插值矩阵求出权系数向量,进而在减基空间中快速恢复出结构的动力响应逼近解:同时相应地还提出了一种有效的时间节点选择算法,该选择算法能够使数值计算过程中所致的误差最小。该方法具有采点少、精度高、计算快捷等优点。 4)提出了一种针对减基法计算结构静力响应的扰动分析方法。该方法通过对已有的减基方程进行形式变换得到新的减基方程,确保其响应在2-范数条件下具有不变性,进而通过一系列范数意义上的不等式推导,将减基方程在整个参数域上的扰动响应相对偏差的界定变成一个与减基刚度矩阵条件数有关的非线性优化问题的求解。同时,该方法还给出了减基方程针对整个参数域所能承受的最大扰动范数比。 5)针对结构静力响应问题,提出了一种改进的减基法。该方法针对用于构建减基空间的位移响应基矩阵,利用向量子空间夹角的观点进行奇异性判别,并对其中出现奇异的基进行删除。为了进一步提高数值计算精度,对保留下的位移响应基进行了约化的QR分解,并通过Galerkin映射将原结构静力方程投影到分解后的列正交矩阵形成减缩方程进行求解。该方法相对改进前的减基法提高了计算精度。 在研究过程中,本文所提的方法都经过了算例的验证,结果表明,文中针对结构动力响应所提出的减基计算方法能够在保证计算精度的同时提高计算的效率,而针对结构静力响应减基计算所提出的扰动分析方法和改进方法都具备计算的有效性。


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