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《湖南大学》 2016年
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随机微分方程的稳定性及分岔研究

罗超良  
【摘要】:随着科学技术的不断进步,人们对现实世界的认识越来越接近本质,因此现实系统中不可避免的随机和时滞因素已成为众多学者研究的重点.特别是,近年来在物理学、工程技术、生物工程、经济与金融演化等领域推导出的大量随机模型,促使人们对随机系统进行深入的研究.与确定性方程的理论研究相比较,随机微分系统的理论研究仍处于初级阶段,特别是在随机稳定性、分岔等方面还存在很多问题值得去思考,理论体系仍需进一步完善.因此,研究随机微分系统的动力学性质具有重要的理论价值和现实意义.本文主要对随机微分方程及随机偏微分方程解的适定性、稳定性及分岔等问题进行研究.全文共分五章,具体内容如下:第一章,简述所研究问题的背景、发展现状及最新进展,并介绍本文的主要工作及一些相关的基础知识.第二章,考虑一类二维随机微分方程的稳定性与分岔.首先,利用泰勒展开、极坐标转换及随机平均法将原微分系统转化成对应的随机平均方程.其次,对随机平均方程及原系统的局部稳定性、全局稳定性及分岔提供一般性分析框架.最后,对含多参数、高次项的随机闭轨方程进行研究,是前面分析框架的重要补充.第三章,研究一类具有小时滞的二维随机延迟微分方程的稳定性与分岔.首先,利用泰勒展开、小时滞展开、极坐标转换及随机平均法将延迟微分系统转化成对应的随机平均方程.其次,分析随机平均方程及原系统的局部稳定性、全局稳定性及分岔行为.最后,提供随机捕食一被捕食模型阐述前面分析的有效性.第四章,分析一类由时空白噪声驱动的抛物型随机偏泛函微分方程mild解的适定性及稳定性.首先,在全局Lipschitz条件及线性增长条件下研究解的存在唯一性.其次,在未给定线性增长条件的情况下,分别研究在全局与局部Lipschitz条件下解的存在唯一性,并进一步分析在弱化Lipschitz条件下解的存在唯一性.然后,推导解的非负性及比较原理,并在此基础上,分析仅在线性增长条件下解的存在性.最后,对方程解的稳定性提供充分条件.第五章,讨论由Levy过程驱动的抛物型随机偏微分方程解的适定性与稳定性.首先,在局部与非Lipschitz条件下研究一类由Levy过程驱动的抛物型随机偏微分方程mild解的存在唯一性与稳定性.其次,在局部与非Lipschitz条件下分析由Levy过程驱动的抛物型随机偏泛函微分方程mild解的存在唯一性与稳定性.最后.给出两个例子说明主要结果的有效性.
【学位授予单位】:湖南大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:O211.63

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