几类连续和不连续微分系统的定性理论研究

【摘要】：本博士论文主要研究几类平面连续和不连续微分系统的定性理论问题,且重点放在以下几个方面:(1)连续和不连续微分系统中心-焦点的判定和高阶Hopf分支问题;(2)连续和不连续微分系统的全局结构;(3)分片连续微分系统的中心条件和极限环分支问题;(4)分片连续微分系统的局部临界周期分支问题.本论文分为五章,主要内容如下:在第一章中,回顾了连续和不连续微分系统的定性理论的研究背景及其研究状况,并归纳本论文的研究工作.在第二章中,介绍了如何利用Poincar′e圆盘描述平面微分系统的全局结构,并利用Poincar′e紧致得到了一类具有双参数的Gray-Scott模型的全局拓扑结构相图.在本章的研究中发现该系统的参数在某些值附近发生微小改变时产生奇点分支、Hopf分支、同宿环分支和异宿环分支,即Bogdanov-Takens分支现象.在第三章中,借助连续微分系统的全局结构相图的研究方法,进一步研究不连续微分系统的全局结构问题.提出如何利用代数方法直接判断出有限远奇点的个数和相应位置,并介绍如何利用奇点指数来判断未知奇点的类型,得到了一类连续或不连续Hamilton系统的全局结构相图和分支图.在第四章中,介绍了分片连续微分系统有限远奇点的中心-焦点的判定和高阶Hopf分支的研究方法,得到了一类分片连续三次微分系统原点的中心条件和极限环个数.在此基础上提出分片连续微分系统无穷远点的位移函数的构造和Liapunov常数的计算方法,进而得到了该分片连续微分系统无穷远点的中心条件和极限环个数.另外,研究了更一般的分片连续三次微分系统的无穷远点的极限环分支问题.在第五章中,介绍了分片连续微分系统中心的周期函数的构造,周期常数的计算方法,以及局部临界周期分支问题.研究了一类分片连续三次微分系统的双中心条件,并通过计算周期常数,得到了该系统的中心(1,0)(或者(-1,0))的局部临界周期分支个数.