基于小波分析数值求解几类非线性动力学问题

【摘要】：求解动力学偏微方程特别是非线性动力学偏微分方程对力学的发展起到了非常重要的作用。目前直接求解非线性偏微分方程的方法还比较少，主要是进行数值求解，再就是用Galerkin截断将偏微分方程转化为在时域上的常微分方程，然后进行求解。小波分析已成为当前应用数学中迅速发展的新领域，它可以解决Fourier分析不能解决的许多困难问题，是近年来在研究工具及方法上的创新，已成为众多学科共同关注的热点。小波方法能够很好的分析函数的局域变化特性，因此它非常适用于非线性偏微分方程的数值求解。拟小波数值算法是一种结合全局方法的高精度和局域方法的稳定性的计算方法。本文主要是引入拟小波数值算法，对几类典型的非线性动力学问题的数值求解进行了研究。 全文共分为六章。第一章为绪论，综述了小波分析和非线性动力学研究的历史和现状，扼要的介绍了本文的研究目的和主要研究成果。第二章阐述了小波分析的基本理论，为拟小波数值离散算法奠定了理论基础。第三章研究了拟小波算法和离散奇异内积的算法，殊途同归得到相同的数值离散格式，统一了拟小波和离散奇异内积的理论，说明离散奇异内积事实上是一种拟小波算法。第四章针对拟小波数值离散算法提出一种新的边界处理方法，并对扩散动力学问题的拟小波数值求解进行了研究。第五章研究了两个典型的非线性动力学偏微分方程，MKdV方程和Klein-Gordon方程的拟小波解法，验证了拟小波数值算法求解此类非线性动力学偏微分方程的有效性和精确性。第六章研究了弹性结构中物理非线性柱和板条周期性强迫激励的动力学响应问题。本文利用拟小波数值方法进行了动力响应计算，并分别与摄动解和Galerkin方法的求解结果进行了数值比较，结果显示了良好的吻合程度。物理非线性板条的动力学响应问题中，结合Poincare映射，相平面轨迹及时程曲线判定物理非线性板条中存在着混沌的可能，说明拟小波数值方法能够很好的分析混沌现象。反过来，也说明了Garlerkin截断的合理性。最后总结了全文，并对小波分析在力学中的应用前景进行了展望。