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《湖南大学》 2005年
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求解约束矩阵方程及其最佳逼近的迭代法的研究

彭亚新  
【摘要】:约束矩阵方程问题是指在满足一定约束条件下的矩阵集合中求矩阵方程(组) 的解.约束条件不同,或矩阵方程(组)不同,则得到不同的约束矩阵方程问题. 约束矩阵方程问题在结构设计、参数识别、生物学、电学、分子光谱学、固体 力学、自动控制理论、振动理论、有限元、线性最优控制等领域都有着重要应用. 本篇博士论文系统地研究了下列几类约束矩阵方程问题: 问题Ⅰ 给定A∈Rm×n,B∈Rm×p,求X∈S(?)Rn×p,使 问题Ⅱ 给定A∈Rm×n,B∈Rp×q,C∈Rm×q,求X∈S(?)Rn×p,使 AXB=C. 问题Ⅲ 给定A1∈Rm1×n,B1∈Rp×q1,C1∈Rm1×q1,A2∈Rm2×n,B2∈ Rp×q2,C2∈Rm2×q2,求X∈S(?)Rn×p,使 A1XB1=C1,A2XB2=C2. 问题Ⅳ 设问题Ⅰ或Ⅱ或Ⅲ相容,且其解集合为SE,给定X0∈Rn×p,求 X∈SE,使 其中‖·‖为Frobenius范数,S为Rn×p或为Rn×p中满足某约束条件的矩阵集 合,如对称矩阵、反对称矩阵、中心对称矩阵、中心反对称矩阵、自反矩阵、反自 反矩阵、双对称矩阵、对称次反对称矩阵等(此时n=p). 本文的主要研究成果如下: 1. 对于问题Ⅰ,很多文献中利用传统的矩阵分解的方法已有了很好的结果.本 文从解线性代数方程组的共轭梯度法中受到启示,另辟蹊径,率先采用迭代法系 统的研究了它求对称解、反对称解、自反矩阵解、反自反矩阵解、中心对称解、中 心反对称解、双对称解、对称次反对称解及其最佳逼近等问题,并与传统方法殊 途同归,同样成功地解决了这些问题,丰富和发展了矩阵研究的理论与方法. 2. 对于问题Ⅱ,已有的文献中利用矩阵分解研究了它有一般解、对称解和反 对称解及其最佳逼近问题,其解的形式较复杂.目前利用传统的矩阵分解的方法 来求其中心对称解、中心反对称解、自反矩阵解、反自反矩阵解及其最佳逼近等 问题都还没有很好地解决,而求其双结构解如双对称解、对称次反对称解及其最 佳逼近则更加困难.本文首次采用迭代法系统的研究了它求一般解、对称解、反 求解约束矩阵方程及其最佳逼近的迭代法的研究 对称解、中心对称解、中心反对称解、自反矩阵解、反自反矩阵解、双对称解、对 称次反对称解及其最佳逼近问题,并首次成功地解决了它求中心对称解、中心反 对称解、自反矩阵解、反自反矩阵解、双对称解与对称次反对称解及其最佳逼近 的问题,拓广和改进了已有的研究成果. 3.对于问题Hl,已有的文献中只解决了一些特殊类型的方程组求约束解的问 题,难以解决其最佳逼近问题.对干一般的矩阵方程组AI XBI=C,,AZXBZ=场 求约束解,如对称解、反对称解、中心对称解、中心反对称解、双对称解、对称次 反对称解及其最佳逼近等问题,目前还没有好的解决办法.本文首次采用迭代法 系统的研究了这些问题,并成功地解决了这些问题,是已有的研究成果的重要补 充与完善. 本文所构造的迭代法的优点是不必预先验证所讨论的矩阵方程或方程组在约 束矩阵类中是否相容,而直接在迭代过程中自动判断问题I一Hl是否有解.若有 解,则对任意初始矩阵,可在有限步内迭代出所求间题的一个解;若取特殊的初 始矩阵,则可迭代出问题的极小范数解;若问题I或问题H或问题Hl的解集合 非空时,可将问题IV转化为求新方程或新方程组的极小范数解,同样用迭代法求 解,从而系统而彻底的解决了问题I一Hl在约束矩阵类如对称阵、反对称阵、中 』臼对称阵、中心反对称阵、自反阵、反自反阵、双对称阵、对称次反对称阵中的求 解及求最佳逼近解等问题. 本博士论文得到了国家自然科学基金的资助. 关键词:约束矩阵方程;矩阵范数;约束解;极小范数解;最佳逼近解 了
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