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变分不等式与互补问题的新算法

李郴良  
【摘要】:变分不等式和互补问题广泛应用于阐述和研究物理学、力学、经济学、运筹学、最优控制等数学模型以及交通运输中出现的各种平衡模型。因此研究其快速数值解法是很有意义的。近几十年来,人们已经提出了许多的有效的算法。在本文中,我们讨论了几类变分不等式和互补问题的有效的新算法。 对于大规模科学与工程问题,并行计算是一种很重要的手段。同步并行计算的一个优点是每一个子问题都可以由并行计算机分配相应的一个处理器进行并行处理,因而较串行算法,大大加快计算速度。但是,在同步计算过程中,每个同步点处必须等待其他所有处理器的信息。而异步并行计算可以克服这个缺点,它可以不等待其他处理器提供的新信息而继续进行计算,节省了“等待”时间。因此研究并行计算,尤其是异步并行计算是很有意义的。多重分裂方法是研究并行求解线性或非线性方程组的重要的数值计算方法。其优点在于,每个处理器只需计算与加权矩阵非零对角元对应的那些分量。从这个意义上来说,它能将原来一个大规模问题转化为几个小规模问题进行并行求解。基于多重分裂的加权加性Schwarz方法(简称为多重分裂Schwarz方法)是多重分裂方法的推广,其收敛性要好于多重分裂方法。非稳态多重分裂方法是多重分裂方法的发展。其主要思想是,每个处理器有限次迭代计算相应的子问题,每次迭代均以上次的计算结果作为下一次迭代计算的初始值。数值例子表明这类方法比标准多重分裂方法具有更好的数值效果。本文将这类方法推广到求解互补问题,包括线性互补问题,对角凸非线性互补问题及有限维仿射双障碍问题。从M-阵到H-阵,我们提出了一系列的同步与异步多重分裂Schwarz方法和非稳态多重分裂方法,并讨论了它们的收敛性。相应的数值例子表明这些算法是有效的。 区域分解算法和多重网格算法是求解变分不等式问题的两类重要的算法。我们提出了一类求解带非线性源项的变分不等式问题的两水平Schwarz算法。这种方法基于有效集策略,将计算区域分为相应于障碍子问题和线性子问题的子区域,然后在子区域上分别求解相应的子问题。我们得到了算法的有限步收敛性结论。针对较一般的T-单调算子障碍问题,我们讨论了一类广义Schwarz算法。这类算法的重要特点是子问题根据Robin边界条件进行耦合。数值算例表明,广义Schwarz算法在选取适当的参数ω_i的情况下,比经典的Schwarz算法更快地收敛于问题的解。新近发展的瀑布型多重网格法是一类有效的新算法。这类算法 变分不等式与互补问题的新算法 不需要粗网格校正,在粗网格层上要求较多的迭代计算,而在细格层上只需较少 的迭代计算.数值例子表明该算法具有很好的计算效果.我们研究了求解带非线 性源项的变分不等式问题和抛物型变分不等式间题的瀑布型多重网格法,给出了 相应的误差估计,算例说明了算法的有效性. 关键词:变分不等式;互补问题;多重分裂方法;区域分解法;多重网格法. 7


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