矩阵方程的约束解及其最佳逼近

【摘要】：约束矩阵方程问题广泛地应用在结构分析、控制论、振动理论、非线性规划等许多领域,关于约束矩阵方程问题的研究有着重要的理论和应用价值。本文我们研究如下问题: 问题Ⅰ 给定A,C∈R~(m×n),B,D∈R~(n×m),S(?)R~(n×n)。找X∈S,使得(AX,XB)=(C,D); 问题Ⅱ 给定A,C∈R~(m×n),B,D∈R~(n×m),S(?)R~(n×n)。找X∈S,使得‖AX-C‖~2+‖XB-D‖~2=min; 问题Ⅲ 给定A∈R~(m×n),B∈R~(n×s),C∈R~(m×s),S(?)R~(n×n)。找X∈S,使得AXB=C; 问题Ⅳ 给定A∈R~(m×n),B∈R~(n×s),C∈R~(m×s),S(?)R~(n×n)。找X∈S,使得‖AXB-C‖=min; 问题Ⅴ 给定X~*∈R~(n×n),找(?)∈S_E,使得‖(?)-X‖=(?)‖X-X~*‖,这里S_E分别表示问题Ⅰ,问题Ⅱ,问题Ⅲ问题Ⅳ的解集合,‖·‖表示Frobenius范数。 本文的主要结果如下: 1.当S是ACSR~(n×n)(反中心对称矩阵)时,我们利用矩阵对的GSVD,给出了问题Ⅰ有解的充分必要条件,并在有解的条件下,给出了问题Ⅰ与问题Ⅴ的通解表达式。 2.在线性流形S={X∈ACSR~(n×n)|‖A_0X-B_0‖=min,A_0,B_0∈R~(m×n)}上我们利用矩阵的SVD和Moore-Penrose广义逆研究了问题Ⅱ与问题Ⅴ,给出了它们的通解表达式和求解问题Ⅴ的数值算法。 3.当S是BSR~(n×n)(双对称矩阵)时,我们利用矩阵的Kronecker积和广义逆给出了问题Ⅲ解存在的充分必要条件和有解时的通解表达式。