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单元能量投影法的数学分析

赵庆华  
【摘要】: 有限元法是解偏微分方程的有效方法之一。但是有限元解的导数一般在单元边界不连续且整体精度不高。因而如何提高有限元解导数的精度成为近年来有限元研究的热点之一。 2004年袁驷教授对于二阶方程两点边值问题基于力学解释提出了所谓的“单元能量投影法”,其基本思想来源于结构力学中的矩阵位移法和有限元数学理论中的投影定理。数值例子显示了良好的效果。2006年单元能量法被推广到四阶两点边值问题的有限元计算中,同样获得了令人满意的效果。但是这一系列很有吸引力的结果均缺少严格的数学分析。 本文主要对二阶方程和四阶方程两点边值问题的单元能量投影法进行数学分析,获得了一系列好的结果。我们的主要贡献是: 1.对于自伴二阶两点边值问题,我们运用投影型插值及强超逼近结果对单元能量投影法导出的一种逐点导数与位移恢复公式进行了细致的分析,准确地指出了它们的收敛精度,这个结果修正了袁驷教授原先报导的结果。 2.对于非自伴二阶两点边值问题,我们导出了准确解在节点上导数的一种表达式,再运用“正交性修正”证明了单元能量投影法节点恢复导数的O(h~(2k))(k≥1)阶超收敛性。这是目前获得的后处理最高阶超收敛结果。 3.对于四阶两点边值问题的单元能量投影法。我们把袁驷教授的结果推广到更一般的方程并对节点恢复弯矩证得了O(h~(2k-2))阶的超收敛精度。这也是目前四阶问题的后处理最高阶超收敛结果。对于恢复剪力,我们证明了O(h~(2k-3))阶的较好结果。


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