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求解一类矩阵最佳逼近问题的理论和算法

雷渊  
【摘要】: 线性矩阵方程的求解问题及相应的最小二乘问题是近年来数值代数领域中研究和讨论的重要课题之一,它在结构设计,系统识别,结构动力学,自动控制理论,振动理论等领域有着广泛的应用。矩阵最佳逼近问题来源于试验设计和有限元模型修正问题等,它是在一类特殊矩阵集合中求一个“距离”给定矩阵X~*最接近的矩阵X的问题,这里的“距离”由一个矩阵范数度量。本篇博士论文系统地研究了一类来源于结构动力学模型修正问题的矩阵最佳逼近问题: 问题Ⅰ给定X~*∈R~(m×m),求(?)∈S使得 ‖(?)-X~*‖=(?)‖(?)-X~*‖,其中‖·‖为Frobenius范数,S分别表示矩阵方程 AXB=D,AXA~T+BYB~T=D,AXB+CYD=E和矩阵方程组 [A~TXA,B~TXB]=[C,D],[AXB,GXH]=[C,D]在一般矩阵集合或对称矩阵集合上不相容时的最小二乘解集合。 本文分别利用多种矩阵分解相结合的直接方法和具有短递推格式的迭代方法得到了问题Ⅰ的解,其主要研究成果如下: 1.基于有限维内积空间的正交投影定理,同时运用矩阵对的广义奇异值分解(GSVD)和标准相关分解(CCD),将上述不相容矩阵方程(组)在给定矩阵集合上的最小二乘问题等价转换为相容矩阵方程的求解问题,并得到了相应的最小二乘解的通解表达式。由该表达式并结合Frobenius范数的正交不变性,成功解决了矩阵整体逼近的关键性困难,得到了问题Ⅰ的解的解析表达式,进而给出了求解问题Ⅰ的数值算法和数值例子。 2.通过构造具有短递推格式的迭代方法,成功地解决了关于上述不相容矩阵方程(组)的矩阵最佳逼近问题。在不考虑舍入误差的情况下,对任意的初始矩阵都可以在有限步计算出它们在给定矩阵集合中的一个最小二乘解,若选取特殊的初始矩阵,则可以得到相应的最小范数最小二乘解。而问题Ⅰ可等价转化为求一个新的不相容矩阵方程(组)的最小范数最小二乘解的问题。 3.进一步分析了这类迭代方法的理论性质。通过构造一类特殊的矩阵函数来刻画该迭代方法的极小化性质,并证明了由该迭代方法计算出来的逼近解,可使得这类矩阵函数在一个仿射子空间上达到极小,而且所得到的残差序列的Frobenius范数是严格单调递减的。类似于经典的共轭梯度法,利用该迭代方法所具有的极小化性质,给出了一个粗略的误差估计。最后通过数值例子验证了所得到的理论结果。 对于求上述不相容矩阵方程(组)在给定矩阵集合上的最小二乘解,很多文献中利用传统的矩阵分解方法得到了其通解表达式,但是利用该表达式很难得到问题Ⅰ的解,这是因为一般的非奇异矩阵并不满足Frobenius范数的正交不变性。本文通过同时运用两个矩阵分解方法,巧妙地克服了这个困难,并得到了问题Ⅰ的解的解析表达式。本文还采用迭代方法系统地研究了问题Ⅰ,并首次利用子空间上的矩阵函数来刻画该迭代方法的极小化性质,这是对已有研究成果的重要补充和完善。


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