一类离散HJB方程的数值解法

【摘要】： Hamilton-Jacobi-Bellman方程(简称HJB方程)最早出现于用动态规划解最优控制问题,之后在科学、工程、经济领域中得到广泛应用.因此HJB方程数值解的研究是一个非常热门的话题;它是偏微分方程数值解领域中重要课题之一.本文主要是研究离散HJB方程数值解法,我们在文中构造了若干新算法并证明了相应算法的收敛性,然后通过数值试验,证明了算法的有效性. 离散的HJB方程在一定的条件下可用拟变分不等式组来逼近.对此拟变分不等式组,我们构造了松弛迭代格式,当ω= 1时即Gauss-Seidel型迭代算法.然后我们考虑基于此算法的区域分解方法,并给出了上述算法的收敛性分析.数值试验显示松弛算法中适当选取松弛因子,能显著提高算法的有效性. Lions和Mercier[1]对离散的HJB方程的数值解提出了两种迭代格式,其中的格式I是在迭代的每一步中对一个变分不等式进行求解.我们对此格式引进一个松弛因子ω,我们称它为Lions-Mercier型的松弛算法.我们给出了此算法的收敛性证明.数值例子表明,合理地选取松弛因子,能大大提高算法的运算速度. 我们还提出了求解HJB方程的一种新的松弛迭代格式,称为Gauss-Seidel型迭代.它在每一步迭代只需进行简单的算术运算,而不需求解线性方程组或线性互补问题,且每一步迭代都用到了上一步的最新结果.此算法的收敛性比传统算法快,我们用数值试验表明了这一点.算法的单调收敛性也得到了证明. 最后,我们对离散的HJB方程的提出了新的多重网格法.在磨光算子的选取上我们选择了一个非线性的光滑算子,即上段所述的松弛型迭代算法.数值试验显示修改磨光算子的新的多重网格法是有效的,并且算法的运算速度明显高于已有求解HJB方程的多重网格法.