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四元数体上几类约束矩阵方程问题研究

袁仕芳  
【摘要】: 线性矩阵方程的求解问题及相应的最小二乘问题是近年来数值代数领域中研究和讨论的重要课题之一,它在结构设计,系统识别,结构动力学,自动控制理论,振动理论等领域中有着广泛的应用.线性矩阵方程的最小二乘解一般来说不是唯一的,但它的极小范数最小二乘解一般来说是唯一的,这里的“范数”指的是矩阵Frobenius范数.本篇博士论文系统地研究了几类约束四元数矩阵方程的极小范数最小二乘解,具体描述为: 问题Ⅰ求X∈S使得S表示四元数矩阵方程AXB=C在约束四元数矩阵集合上的最小二乘解集合. 问题Ⅱ求[X,Y]∈S使得S表示四元数矩阵方程AXB+CYD=E在约束四元数矩阵集合上的最小二乘解集合. 问题Ⅲ求[X,Y]∈S使得S表示四元数矩阵方程AXA~T+BYB~T=C在约束四元数矩阵集合上的最小二乘解集合. 问题Ⅳ求X∈S使得S表示四元数矩阵方程(AXB,CXD)=(E,F)在约束四元数矩阵集合上的最小二乘解集合. 本文主要利用多种矩阵分解相结合和矩阵的Moore-Penrose广义逆,Kronecker积和拉直算子的方法分别得到了问题Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ的解,主要研究成果如下: 1.建立了四元数矩阵对的标准相关分解.基于有限维内积空间的正交投影定理,同时运用四元数矩阵对的广义奇异值分解(GSVD-Q)和标准相关分解(CCD-Q),将问题Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ中不相容四元数矩阵方程(组)在给定矩阵集合上的最小二乘问题等价转换为相容四元数矩阵方程的求解问题,并得到了相应的最小二乘解的通解表达式.由该表达式并结合四元数矩阵的Frobenius范数的正交不变性,得到了问题Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的解的解析表达式. 2.利用矩阵的Moore-Penrose广义逆,Kronecker积,拉直算子和四元数矩阵的复表示,结合约束矩阵的基矩阵,将问题Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ中四元数矩阵方程约束最小二乘问题化成无约束最小二乘问题,并得到了相应的最小二乘解的通解表达式和极小范数最小二乘解的表达式. 对于求线性实矩阵方程或矩阵方程组在约束实矩阵集合上的最小二乘解,许多文献利用传统的矩阵分解方法或巧妙地运用广义奇异值分解(GSVD)、商奇异值分解(QSVD)或标准相关分解(CCD)等矩阵分解方法得到了其通解表达式,但是利用这些表达式很难求出问题Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ中提到的极小范数最小二乘解,这是因为一般的非奇异矩阵并不满足Frobenius范数的正交不变性.近几年来,有一系列文献基于有限维内积空间的正交投影定理,同时运用GSVD和CCD这两个矩阵分解方法,巧妙地克服了这个困难,并得到了问题Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ中提到的极小范数最小二乘解的解析表达式.本文将这一技术推广到四元数体上,首先建立了四元数矩阵对的标准相关分解(CCD-Q),其次基于有限维内积空间的正交投影定理,同时运用四元数矩阵对的广义奇异值分解(GSVD-Q)和标准相关分解(CCD-Q),得到了问题Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ中的约束四元数矩阵方程的最小二乘解和极小范数最小二乘解.这是对已有研究成果的重要补充和完善. 利用传统的矩阵分解方法似乎很难求出问题Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ中实矩阵方程AXB+CYD=E或矩阵方程组(AXB,CXD)=(E,F)在约束实矩阵(例如对称矩阵)集合上的极小范数最小二乘解,我们在已有技术即利用矩阵的Moore-Penrose广义逆,Kronecker积和拉直算子,结合约束矩阵的基矩阵,将问题Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ中实矩阵方程约束最小二乘问题化成无约束最小二乘问题,并得到了相应的最小二乘解的通解表达式和极小范数最小二乘解的表达式的基础上,将这一方法推广到求四元数体上约束矩阵方程的极小范数最小二乘解即问题Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ的解.


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