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求解几类非线性矩阵方程的数值算法

龙建辉  
【摘要】: 非线性矩阵方程的求解问题是近年来数值代数领域和非线性领域中研究和讨论的重要课题之一,它在结构设计,系统识别,动态规划,自动控制理论,振动理论,统计学等领域有着广泛的应用.本篇博士论文研究了以下几类应用广泛的非线性矩阵方程: 1.对称非线性矩阵方程: 2.矩阵的平方根:X~2-A=0. 3.二次矩阵方程:AX~2+BX+C=0. 本文的主要研究工作如下, 1.第1章阐述了课题的研究意义和发展概况.第2章、第3章、第4章主要研究了对称非线性矩阵方程,其中第2章分析了它的Hermitian正定解的存在性和唯一性,以及正定解的性质并给出了两个数值算法求它的最大Hermitian正定解.第3章对最大Hermitian正定解的敏感性和向后误差进行了分析.第4章讨论了更一般的对称非线性矩阵方程. 2.在科学与工程问题中,求矩阵的平方根是常见的问题,其中Newton法是比较好的算法.然而,在每Newton迭代步解Lyapunov方程比较困难和运算量大,简化Newton法运算量小但数值不稳定.在第5章,将精确线性搜索与Newton法结合得到一个算法,该算法具有Newton法的优点且比Newton法有较高的效率.将精确线性搜索与简化Newton法相结合得到一个算法,该算法具有简化Newton法的优点且比简化Newton法有较好的数值稳定性. 3.第6章、第7章、第8章主要研究了一般的二次矩阵方程.第6章在Newton算法、精确线性搜索和(?)amanskii技术基础上提出一个算法,它有局部立方收敛阶,比Newton算法有更高的效率.第7章提出不精确Newton算法,在每迭代步它不需要精确求Sylvester方程的解但算法有超线性收敛.第8章提出了最速下降算法,它有效避免了某些迭代值Newton迭代无法进行的情况. 此博士论文得到了国家自然科学基金10571047和教育部博士点基金20060532014的资助.此博士论文用L~AT_EX2_ε软件打印.


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