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《湖南大学》 2008年
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几类非线性矩阵方程的理论与方法

段雪峰  
【摘要】: 非线性矩阵方程是数值代数领域和非线性分析领域中研究和探讨的重要课题之一.它在控制理论,运输理论,动态规划,梯形网络,统计过滤和统计学等科学和工程计算领域中有着广泛的应用.本篇博士论文系统地研究了如下几类非线性矩阵方程的理论与数值方法. 基于不动点定理和Banach空间的序列原理,系统地研究了矩阵方程的Hermitian正定解,其中A为n×n阶非奇异复矩阵,Q为n×n阶正定矩阵,q≥1.给出了该矩阵方程存在正定解的一些新的充分条件和必要条件,构造了求解的数值方法.还对该矩阵方程进行了扰动分析,得到了新的正定解的扰动界. 基于Brouwer不动点定理和Banach不动点定理,系统地研究了矩阵方程的Hermitian正定解的存在性,其中A为n×n阶非奇异复矩阵,Q为n×n阶正定矩阵,且s,t是正整数.给出了该矩阵方程存在正定解的一些新的充分条件,必要条件及充要条件.并对该矩阵方程进行了扰动分析,得到了新的正定解的扰动界.数值例子说明了所得结论的正确性. 基于单调算子的动力学性质,研究了矩阵方程的Hermitian正定解,其中A_1,A_2,…,A_m是n×n阶复矩阵,Q为n×n阶正定矩阵,m是正整数.给出了该矩阵方程的Hermitian正定解的存在性定理及数值求解方法,并对其进行扰动分析,得到了新的正定解的扰动界. 基于正规锥上单调和混合单调算子的不动点定理,研究矩阵方程的Hermitian正定解,其中A_1,A_2,…,A_m是n×n阶复矩阵,Q为n×n阶正定矩阵,0|δ_i|1,i=1,2,…,m.首次证明了该矩阵方程总是存在唯一正定解.首次提出了求解该矩阵方程的多步定常迭代方法,利用正规锥上序列的性质得到了相应的收敛性定理,并用数值例子验证了此方法的可行性. 基于摄动引理和Ostrowski定理,研究矩阵方程的非奇异解,即研究矩阵A的非奇异平方根.当矩阵A非奇异时,对其等价方程构造Newton迭代法,并结合Samanskii技术得到了一种修正Newton法.给出了新Newton法及其修正方法的局部收敛性定理.证明了这两种方法具有较好的数值稳定性.数值实验表明,新Newton法及其修正方法具有精度高和迭代步数少等优点.当矩阵A是一类上三角Toeplitz矩阵时,提出了一种待定系数法求其平方根.数值实验表明,该方法是可行的.
【学位授予单位】:湖南大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2008
【分类号】:O241.6

【引证文献】
中国硕士学位论文全文数据库 前1条
1 张晓昱;两类非线性矩阵方程的Hermitian正定解及数值解法研究[D];湖南大学;2010年
【参考文献】
中国期刊全文数据库 前10条
1 徐树方;矩阵方程X+A~T X~(-1) A=I之最大解的性质及数值解法(英文)[J];北京大学学报(自然科学版);2000年01期
2 程明松;矩阵方程X+A~*X~(-2)A =I有对称正定解的充分必要条件(英文)[J];北京大学学报(自然科学版);2005年01期
3 李静,张玉海;矩阵方程X-A*X~(-q)A=Q当q>1时的Hermite正定解[J];工程数学学报;2005年04期
4 廖安平;矩阵方程X+A~*X~(-n)A=I的正定解[J];高等学校计算数学学报;2004年02期
5 张玉海;;非线性矩阵方程X+A~*X~qA=I(q>0)Hermite正定解的存在性[J];高等学校计算数学学报;2005年S1期
6 ;On The Maximal-Like Solution of Matrix Equation X+A~*X~(-2)A=I[J];Numerical Mathematics A Journal of Chinese Universities(English Series);2006年01期
7 王进芳,张玉海,朱本仁;矩阵方程X+A~*X~(-q)A=I(q>0)的Hermite正定解[J];计算数学;2004年01期
8 陈小山,黎稳;关于矩阵方程X+A~*X~(-1)A=P的解及其扰动分析[J];计算数学;2005年03期
9 高东杰;张玉海;;矩阵方程X-A~*X~qA=Q(q>0)的Hermite正定解[J];计算数学;2007年01期
10 尹小艳;刘三阳;房亮;;矩阵方程X+A~*X~(-n)A=P的Hermite正定解及其扰动分析[J];计算数学;2008年01期
【共引文献】
中国期刊全文数据库 前10条
1 黄浩;王良龙;;一类无穷时滞中立型泛函微分方程的正周期解[J];安徽广播电视大学学报;2010年04期
2 周宗福;贾宝瑞;;分数阶微分方程反周期边值问题解的存在性[J];安徽大学学报(自然科学版);2011年01期
3 章春林;;一类滞后型泛函微分方程的边值问题[J];安徽工程科技学院学报(自然科学版);2006年01期
4 杨景保;韦忠礼;;含有一阶导数的一维p-Laplacian算子方程的可解性[J];安庆师范学院学报(自然科学版);2008年01期
5 孙涛;刘超;沙秋夫;;一类可描述传染病的中立型积分方程的多重正解[J];鞍山科技大学学报;2006年06期
6 杨喜陶,袁荣;Banach空间中概周期序列的谱[J];北京师范大学学报(自然科学版);2005年05期
7 郭飞;Banach空间混合型积分-微分方程初值问题的唯一解[J];滨州师专学报;2001年04期
8 王明明;;一类p-Laplacian差分方程两点边值问题正解的存在性[J];滨州学院学报;2008年06期
9 田杰;;一类p-Laplacian差分方程正解存在性的注记[J];滨州学院学报;2008年06期
10 申艳平;;一类二阶脉冲微分方程多点边值问题的正解[J];滨州学院学报;2009年06期
中国重要会议论文全文数据库 前4条
1 刘杰;张全虎;张勇;管才路;贾小龙;惠卫华;;层析γ扫描发射测量的计算机模拟研究[A];第九届全国信息获取与处理学术会议论文集Ⅱ[C];2011年
2 潘立宙;周怡之;崔力争;张凡;;地层在层面力作用下的褶皱失稳分析[A];中国地质科学院地质力学研究所文集(15)[C];1993年
3 张颖;何怡刚;王耀宇;;一类具有变时滞的二元神经网络方程边值问题的数值解法[A];第二十届电工理论学术年会论文集[C];2008年
4 董晓明;韩学山;;计及误差因素的连续潮流分析及实用化改进[A];中国高等学校电力系统及其自动化专业第二十四届学术年会论文集(上册)[C];2008年
中国博士学位论文全文数据库 前10条
1 马子魁;基于拟静力学方法的球轴承动力学特性研究[D];浙江大学;2010年
2 吴乐彬;基于电液伺服并联六自由度机构的广义负载模拟理论和实验研究[D];浙江大学;2010年
3 杨光源;运动导体涡流电磁问题的径向基点配置型无单元算法研究[D];华中科技大学;2011年
4 王秀花;非线性方程的一些数值解法及其理论分析[D];上海大学;2011年
5 桑彦彬;非线性算子方程的解及其应用[D];山东大学;2011年
6 杨柳;几类非线性微分方程边值问题解的存在性与多重性研究[D];中南大学;2011年
7 张琼芬;几类微分系统周期解和同宿轨的存在性与多重性[D];中南大学;2011年
8 李成福;非线性分数微分方程边值问题解的存在性[D];湘潭大学;2010年
9 骆先南;具因果算子的分数泛函微分方程解的存在性[D];湘潭大学;2011年
10 丁亮;基于Maxwell方程正反演的混凝土无损检测方法[D];哈尔滨工业大学;2011年
中国硕士学位论文全文数据库 前10条
1 冯婷婷;一类非线性抛物型方程解的多重性[D];大连理工大学;2010年
2 李云霄;一类非线性桥梁方程解的多重性[D];大连理工大学;2010年
3 李京;Hermitian Toeplitz矩阵向量积的计算[D];长沙理工大学;2010年
4 吕翔;两类具偏差变元的Lotka-Volterra生态系统的周期正解的存在性和全局吸引性[D];安徽师范大学;2010年
5 周浩;ZK60镁合金等通道角加工组织分析和数值模拟[D];哈尔滨理工大学;2010年
6 敖岩岩;具有稀疏效应的捕食—被捕食系统的定性分析[D];哈尔滨理工大学;2010年
7 石涛;600MW机组冷端运行优化研究[D];浙江大学;2011年
8 王彬;结合矫正误差的多摄像机定标方法[D];浙江大学;2011年
9 周文艺;二阶时标与脉冲非自治哈密顿系统周期解的存在性问题研究[D];昆明理工大学;2010年
10 孔祥山;几类p-Laplace算子型微分方程边值问题的解[D];山东师范大学;2011年
【同被引文献】
中国期刊全文数据库 前10条
1 徐树方;矩阵方程X+A~T X~(-1) A=I之最大解的性质及数值解法(英文)[J];北京大学学报(自然科学版);2000年01期
2 李静,张玉海;矩阵方程X-A*X~(-q)A=Q当q>1时的Hermite正定解[J];工程数学学报;2005年04期
3 刘新国;关于求解矩阵方程I=X+A~HX~(-1)A的简单迭代[J];高等学校计算数学学报;1998年02期
4 郭晓霞;矩阵方程X + A~TX~(-1) A= Q存在可稳定化解的充分必要条件[J];高等学校计算数学学报;1999年03期
5 廖安平;矩阵方程X+A~*X~(-n)A=I的正定解[J];高等学校计算数学学报;2004年02期
6 张玉海;;非线性矩阵方程X+A~*X~qA=I(q>0)Hermite正定解的存在性[J];高等学校计算数学学报;2005年S1期
7 段雪峰;廖安平;;矩阵方程X+A~*X~(-q)A=Q(q≥1)的Hermitian正定解及其扰动分析[J];高等学校计算数学学报;2008年03期
8 王进芳,张玉海,朱本仁;矩阵方程X+A~*X~(-q)A=I(q>0)的Hermite正定解[J];计算数学;2004年01期
9 陈小山,黎稳;关于矩阵方程X+A~*X~(-1)A=P的解及其扰动分析[J];计算数学;2005年03期
10 高东杰;张玉海;;矩阵方程X-A~*X~qA=Q(q>0)的Hermite正定解[J];计算数学;2007年01期
中国博士学位论文全文数据库 前1条
1 龙建辉;求解几类非线性矩阵方程的数值算法[D];湖南大学;2008年
中国硕士学位论文全文数据库 前2条
1 刘巍;两类非线性矩阵方程的Hermite正定解[D];湖南大学;2008年
2 黄叶楠;三类非线性矩阵方程的Hermitian正定解研究[D];湖南大学;2009年
【二级参考文献】
中国期刊全文数据库 前3条
1 王进芳,张玉海,朱本仁;矩阵方程X+A~*X~(-q)A=I(q>0)的Hermite正定解[J];计算数学;2004年01期
2 陈小山,黎稳;关于矩阵方程X+A~*X~(-1)A=P的解及其扰动分析[J];计算数学;2005年03期
3 朱德高;一个Jordan块的平方根矩阵[J];数学物理学报;1999年03期
【相似文献】
中国期刊全文数据库 前10条
1 张玉海;;非线性矩阵方程X+A~*X~qA=I(q>0)Hermite正定解的存在性[J];高等学校计算数学学报;2005年S1期
2 张乃千;;矩阵方程X+A~*X~2A=I的迭代正定解[J];新课程研究(教师教育);2008年12期
3 邵星峰;陈广贵;李超;李鸣明;;矩阵方程X-A~* X~(-a)A=O的Hermite正定解[J];内蒙古民族大学学报;2011年02期
4 钱爱林;;矩阵方程X-A~*X~(-2)A=E的Hermite正定解[J];咸宁学院学报;2005年06期
5 刘巍;王柏育;熊慧军;;非线性矩阵方程X-A~*(■-C)~(-n)A=Q的正定解[J];阜阳师范学院学报(自然科学版);2011年01期
6 熊慧军;;一个非线性矩阵方程的迭代解法[J];湖南师范大学自然科学学报;2006年04期
7 刘巍;;矩阵方程X+A~*X~(-q)A=Q(q≥1)的正定解[J];阜阳师范学院学报(自然科学版);2007年04期
8 张乃千;;矩阵方程X+A~*X~(-n)A=Q的正定解的性质[J];潍坊学院学报;2008年06期
9 廖安平;黄叶楠;沈金荣;;矩阵方程X+sum from i=1 to m (A_i~*XV~(-n)A_i=I)的正定解[J];长沙大学学报;2009年02期
10 龙建辉;何佑梅;詹慧菁;;矩阵方程X+A_1~*X~(-1)A_1+A_2~*X~(-1)A_2=I的Hermite正定解[J];赣南师范学院学报;2009年06期
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1 宣国荣;柴佩琪;管海兵;;多维直方图的最大似然参数估计[A];1999年中国智能自动化学术会议论文集(上册)[C];1999年
中国博士学位论文全文数据库 前6条
1 段雪峰;几类非线性矩阵方程的理论与方法[D];湖南大学;2008年
2 龙建辉;求解几类非线性矩阵方程的数值算法[D];湖南大学;2008年
3 姚国柱;若干非线性矩阵方程的理论与算法[D];湖南大学;2010年
4 贾志刚;非线性矩阵问题的若干结果[D];华东师范大学;2009年
5 陈小山;矩阵扰动若干问题研究[D];华南师范大学;2007年
6 尹小艳;几类非线性矩阵方程的Hermite正定解及其扰动分析[D];西安电子科技大学;2009年
中国硕士学位论文全文数据库 前10条
1 梁颖;一类非线性矩阵方程的扰动分析[D];山东大学;2011年
2 王洁;矩阵方程X~s+A~*X~(-t)A=Q的Hermite正定解[D];湘潭大学;2011年
3 张晓昱;两类非线性矩阵方程的Hermitian正定解及数值解法研究[D];湖南大学;2010年
4 谢维维;非线性矩阵方程X+A~*X~qA=Q(q>O)的正定解[D];兰州大学;2011年
5 王晓莹;非线性矩阵方程X+A~*X~(-1)A=P的Hermite正定解的Newton方法[D];山东大学;2010年
6 崔晓梅;关于两类非线性矩阵方程的解[D];北华大学;2007年
7 郭向利;非线性矩阵方程X-A*X~(-2)A=I的Hermite正定解的唯一性及其数值解法[D];山东大学;2012年
8 李磊;非线性方程X+A~*X~qA=I(q>0)的Hermite正定解[D];山东大学;2006年
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