几类非线性偏微分方程的解

【摘要】： De Giorgi猜想来自于由Bernstain提出的一个著名的几何问题,方程Δu-u+u3=0在8维以下的全空间中的单调解是否退化为一维方程的解,这就是所谓的解的一维对称性问题。自1978年意大利数学家De Giorgi提出该猜想以来,便引发了诸多学者们对该问题的探讨及验证。1998年,Goussoub与Gui率先证明了2维情形De Giorgi猜想,即Allen-Cahn方程的单调有界解是一维对称的。随后,Berestycki, Caffarelli与Nirenberg也证明了n=2时的De Giorgi猜想；紧接着,Ambrosio与Cabre证明了n=3时的De Giorgi猜想。2003年Savin在一定极限条件下4≤n≤8维情形的De Giorgi猜想。在这之后的几年当中,这一问题引发了更广泛的关注并得到了极大的推进；例如寻找De Giorgi猜想的反例,将常系数方程被推广到变系数方程、向量方程组,最近还推广到p-Laplace方程(p1)及分数p-Laplace方程(0p1),相应的方程解的存在性、对称性、正则性等诸多性质得到了广泛研究。本文我们将研究几种变系数p-Laplace方程解的性态。本文的主要工作有： 第一章,我们回顾了一下De Giorgi猜想这个问题的进展情况,并着重介绍了几篇重要文献的思路和结论,然后简要介绍了一些与之相关问题的最近动态；最后列出了一些准备知识,它们将会在后面的章节中用到。 第二章,鉴于Cabre和Terra最近考虑将鞍形解作为高维空间中De Giorgi猜想的反例,并且Danielli与Garofalo等人已经研究了2,3维空间自治p-Laplace方程一维对称解的存在性,同时一维对称解是极小化子,因此本章对一类常系数p-Laplace方程进行了研究,利用变分方法证明了多个鞍形解的存在性。 第三章,我们研究了一类二维变系数的p-Laplace方程,其系数是仅依赖于单个变量x的周期函数,由于一维对称解是该方程的解,那么该方程除了一维对称解之外还有没有其它解呢?为此在本文试图寻找该方程的非一维对称解,已知解关于另一变量y一致收敛于±1。通过利用该方程对应的常微分方程解集的某种离散性,得到了至少两个二维解的存在性,并得到了解的渐近性态；即当y→±∞时u(·,y)为对应的常微分方程的解。 第四章,Alessio, Jeanjean与Montecchiari等人已经研究了-Δu+a(x)W′(u)=0,(x,y)∈R2有多个层解,因此本文继续深入研究该方程,通过构造合适的可容许集,利用变分方法得到了无穷多个Multi-bump解；即当y→∞时,u(·,y)在不同的两个集合间震荡；这样,该方程总会有无穷多个包括一维对称解、层解、Multi-bump解的解。 最后一章,我们研究了一类二维变系数的p-Laplace方程-Δu+a(x,y)W′(u)=0,(x,y)∈R2,其系数关于变量y是周期的,而且关于y对称,利用条件a(x,y)=a(x,—y)这一条件得到了解u关于y呈周期这一性质,首先得到某一个周期上的解,然后沿y周期延拓,得到了整体解的存在性；由于a(x,y)不恒为常数且与y相关,这就排除了该解为一维对称解可能性。