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几类风险模型破产概率及其渐近解研究

龚日朝  
【摘要】: 在风险理论中,目前大多数学者主要集中在对复合二项模型、Poisson模型和更新模型等三个基本风险模型进行更合乎实际的推广,比如在模型中推广赔付过程、推广保费收入过程以及考虑加入随机干扰以及利率因素等,然后研究它们的破产概率和Gerber-Shiu折现惩罚函数等特征量等问题。但是,依然还有一些学者在对上述三个基本模型继续进行研究。我们认为,这种研究也是很必要的,因为尽管关于基本模型已经有很长时间的研究历史而且也取得了很多经典性的成果,但对这些基本模型依然还有许多问题没有解决,比如在复合二项模型中关于破产概率的显示解问题和Poisson模型中当赔付随机变量所服从的分布使得调节系数不存在的问题等。总而言之,不管是研究推广模型还是研究经典模型,都是必要的也是具有重大意义的。 本文不仅对三类基本的风险模型进行了进一步的研究,而且对它们也进行了一些更接近实际的合理推广。对破产概率、有限时间内生存概率以及Gerber-Shiu折现惩罚函数m(x)=E{v~TW(R(T-),|R(T)|)1_(T<∞)|R(0)=x}等特征量进行了研究,得到了它们的表达式或渐近估计式。 关于复合二项风险模型,本文感兴趣的主要是破产概率或生存概率的显示解和Gerber-Shiu折现惩罚函数的渐近解。 在完全离散复合二项风险模型下,本文主要是利用过程的马尔可夫性质,从轨道的分析入手,首先得到赔付间断时间随机序列{T_i,i=1,2,3,…}和事故发生时刻的赢余序列{R(U_i),i=1,2,3,…}的联合密度其中x_0=x是保险公司的初始资本.然后,根据破产时刻肯定是某次事故发生时刻的特点,就得到了破产概率和有限时间内的生存概率 与此同时,几乎运用同样的方法和思路,可以得到保险公司在初始资本为x的条件下,生存到时刻t而且在此时刻的赢余资本至少达到M的概率其中 R_j=x+c(k_1+k_2+…+k_j)-(i_1+i_2+…+i_(j-1)),j=1,2,3,…,n. n维向量集合Q(n,m)≡{(k_1,k_2,…,k_n):k_1+k_2+…+k_n=m,k_i∈Z~+}. A(M,k,t)≡R_k-(M+k-t)1_({M+k-t≥0}). 另外,在假设单位时间内收取的保费c=1的模型下,根据过程的马尔可夫性质,通过破产概率所满足的瑕疵更新方程,运用概率母函数方法,得到破产概率具有Pollazek-Khinchin公式: 关于破产概率或Gerber-Shiu折现惩罚函数的渐近解,同样利用过程的马尔可夫性质,然后运用概率母函数的方法和有关的更新理论,得到它们所满足的瑕疵更新方程得到其中(1)τ(i)=p(?)W(i,j-i)f(j),i∈Z. (2)θ=θ(v)是方程vp(?)(z)=z-vq关于变量z在(vq,v]内的唯一正根. (3)b_θ(i)=(?)θ~jf(i+1+j)/(?)θ~j(?)(j)是一个概率函数,其中(?)(j)=(?)f(i)表示F的尾分布.然后在此结果的基础上,得到了在存在调节系数R的条件下的渐近解: (1)m(0)=1/q((?)(θ)-τ(0))其中(?)(z)=(?)τ(i)z~i=p(?)z~i(?)W(i,j-i)f(j),表示τ(i)的母函数. (2) m(x)~v((?)(R)-(?)(θ))〔vp(?)iR~if(i)-R〕~(-1)R~(-x),x→∞. 在一般情形的复合二项风险模型下,目前很少有人进行研究,因为在研究方法上,没有完全离散情形那么方便,概率母函数的方法失去了其功能。本文同样首先从过程轨道入手,得到赔付间断时间随机序列{T_i,i=1,2,3,…)和事故发生时刻的赢余序列{R(U_i),i=1,2,3,…)的联合分布密度函数P~x(T_1=k_1,R(U_1)∈dx_1,…,T_n=k_n,R(U_n)∈dx_n)=g_n{x,k_1,…,k_n,x_1,…,x_n}dx_1…dx_n其中得到了破产概率的显示公式以及有限时间内的生存概率 关于Poisson风险模型,本文感兴趣的是两个方面,一个方面是当赔付随机变量属于分布族S~*(v)时破产概率及其局部解的渐近解问题;另外一个方面就是对模型进行推广,然后在推广后的模型下研究破产概率以及Gerber-Shiu折现惩罚函数。 分布族S~*(v)是一类间于轻尾和重尾之间的分布族,当v=0时属于重尾而当v0时属于轻尾。在Poisson风险模型下如果赔付随机变量属于重尾分布族,则调节系数显然是不存在的;如果属于轻尾分布族,调节系数可能存在也可能不存在,如今一般都是在假设调节系数存在的条件下研究破产概率的问题,然而当赔付虽然属于轻尾但调节系数不存在的情形研究很少。本文在当赔付随机变量属于分布族S~*(v)而且调节系数不存在时,研究破产概率及其局部解的渐近解,得到了破产概率和破产概率的局部渐近解 关于Poisson模型的推广问题,又主要是从三个方面入手,即保费收入过程、赔付过程和带干扰等三个方面。 关于保费收入过程的推广主要是在假设保费收入依然是一个Poisson过程的情形下进行了研究,得到了在调节系数存在的假设下破产概率公式和赔付服从指数分布时破产概率的显示表达式。另外,在假设初始资本和赔付都是取整数的条件下,得到了破产概率的一般显示表达式 关于赔付过程的推广,主要是考虑了虽然在充分小的时间内发生事故的次数至多一次但在同一事故发生时刻可能发生多起赔付的情况以及同时还有采取免赔额等风险规避措施的情况。如果在同一次事故引起的赔付起数服从Poisson分布时,本文称之为复合广义Poisson模型,通过将模型转化为经典Poisson模型,得到了破产概率的Pollazek-Khinchin公式,然后在个体赔付服从指数分布的条件下,给出了破产概率的上下界公式。在上述复合广义模型的基础上,如果考虑免赔额等风险规避制度,本文引入了一类模型,称之为复合复合Poisson瑕疵几何风险模型。该模型特点是其赔付计数过程是一个由Poisson过程和瑕疵的几何分布复合而成。在此模型下,得到了Gerber-Shiu折现惩罚函数满足的瑕疵更新方程,相应地得到了破产概率所满足的瑕疵更新方程。另外,基本上基于同样的背景,毛泽春和刘锦萼(2005)给出了复合Poisson-Geometric风险模型,本文在他们的研究基础上,得到了破产即刻前赢余与破产时刻赤子的折现惩罚期望函数满足如下更新方程,由此又得到了破产概率的Pollazek-Khinchin公式。 对于具有免赔额的情形,如果还考虑免赔额对保费的影响,本文对模型进行了修正,并给出了免赔额的确定方法。 关于带干扰的经典Poisson模型,在赔付服从重尾分布的情形下得到了如果F∈S~*,则对任意实数z>0,生存概率的局部解满足: 最后,本文研究了延迟更新风险模型,得到了如果非网格赔付分布F∈S~*,则对任意z>0,破产概率的局部解满足


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