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一类粘弹性流体模型与数值分析的研究

张宏伟  
【摘要】: 粘弹性流体问题一直是流体力学和理论数学研究的一个重要问题.本文主要研究一类粘弹性流体的数学模型.即Oldroyd-B型流体的数学模型.这类数学模型一直以来都是众多科学家感兴趣的研究内容,均归结为偏微分方程(组)的求解,因此,研究具有高效率高精度的算法是很有必要的.在本文中我们提供了几种解决两类偏方程的数学方法.文章主要内容如下: 本文第一章介绍了非牛顿流体力学及相关数值分析综述.第二章着重讨论了基于Oldroyd随体时间导数的Oldroyd-B型流体的数学模型的本构方程的建立、求解,并最终给出了此类方程1级、2级变分-解析解,同时,我们还在两个特殊情形(常压力梯度和周期性压力梯度)下,讨论了该变分-解析解具体表达形式. 第三章主要工作是应用混合有限元、最小二乘混合有限元和V循环多重网格法去解决Oldroyd B型流体流动问题.一方面,我们将混合有限元方法应用于求解非定常型的服从Oldroyd B型本构律的黏弹性流体流动问题.另一方面,我们将运用混合有限元方法、最小二乘混合有限元方法和V循环多重网格法去逼近Oldroyd B型流体流动问题,并讨论了逼近解与真解的误差估计和收敛性.其主要内容如下:讨论用混合有限元方法去研究Oldroyd B型流体流动问题的解的存在唯一性,并给出了逼近解的误差估计;介绍应用混合有限元的最小二乘法去逼近Oldroyd B型流体流动问题,并讨论了逼近解的收敛性;讨论Oldroyd B型流体流动问题的V循环多重网格格式,并给出了迭代解的存在唯一性和误差估计. 本文第四章的主要目的就是研究一类非对称椭圆问题的最小二乘混合有限元方法的超收敛现象.特别是对一般的非自共扼二阶椭圆边值问题,我们讨论了其最小二乘混合元解的存在唯一性及超收敛性.在第五章中,我们分别对半线性反应扩散问题和非线性反应扩散问题的扩张混合有限元方法给出了几个两层网格方法,并对它们的收敛性进行了分析.


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