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《长沙理工大学》 2007年
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一类退化拟线性偏微分方程的解

叶钰  
【摘要】: 许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述,很多重要的物理、力学学科的基本方程本身就是偏微分方程.近两百年来,最常见的偏微分方程(热传导方程、调和方程、波动方程等)紧密联系着在物理学、力学、几何学等方面的需要;而在经典偏微分方程理论的范畴中,以多元微积分学(以及常微分方程、复变函数、线性代数等)为主要工具,形成了许多至今仍在广泛使用的有效方法. 随着应用偏微分方程的发展,很多意义重大的自然科学和工程技术问题都归结为非线性偏微分方程的研究,而且随着研究的深入,有些原先都可用线性偏微分方程作近似处理的问题,也必须考虑非线性项的影响.因此,现时应用偏微分方程研究的主体是非线性偏微分方程.在Sobolev空间理论基础上建立起来的泛函分析方法,为处理线性及非线性偏微分方程的问题提供了一个强有力的框架和工具,并在实践中已得到广泛的应用.其后,又以广义函数的出现为标志,提供了处理偏微分方程问题的又一种框架,在其中,许多经典的方法(突出的如Fourier分析)进一步发挥了重大的作用.在此基础上,以后还连续出现了拟线性微分算子、Fourier积分算子、微局部分析、超函数等新的强有力理论和工具,不仅极大地改变了线性偏微分方程的面貌,并开始应用于处理非线性偏微分方程的问题. 本文主要分别讨论了两类拟线性偏微分方程的解.其一,推广了P-Laplacian算子构成的偏微分方程的结果;运用了不动点指数理论讨论了退化的拟线性椭圆型偏微分方程的正解问题以及正解的分叉问题,同时考虑了由退化的拟线性算子构成特征值问题,给出了第一特征值的存在性结果以及其性质.其二,建立了由拟线性算子构成的抛物型方程的比较原理,从而运用上、下解迭代的方法论证了拟线性抛物型方程解的存在,同时还讨论了其解的爆破现象.
【学位授予单位】:长沙理工大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2007
【分类号】:O175.2

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