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半线性抛物方程全局吸引子的存在性研究

王乐云  
【摘要】: 本文主要考虑了无界域上半线性抛物方程的解的长时间行为,其次研究了有界域上非线性双曲方程的整体强解的渐近行为. C本课题的研究主要有两大困难,第一是系统解半群的紧性的验证.我们知道要得到全局吸引子存在性,关键是要得到解半群的某中紧性.当区域无界时,经典的Sobolev紧嵌入不再成立.因此,不能直接运用紧嵌入来得到紧的吸引集的存在性,而目前一些用来验证半群的紧性的方法例如渐近光滑等也不能解决这个难题,因为在本系统中非线性项D~if~i仅属于H~(-1)的.第二是由于非线性项f是任意阶指数增长.而H~1(R~n)与L~p(R~n)之间,当p充分大时没有嵌入关系,因此尽管文献[19]证得了(L~2(R~n),L~p(R~n))-全局吸引子的存在性,也不能用这一方法直接得到(L~2(R~n),H~1(R~n))-全局吸引子的存在性,因此,我们提出了一种新的方法,即,收缩函数.这种方法出自文献[17],这一方法首先利用文献[19]中的结果,得到有界吸收集在L~p(R~n)中和L~2(R~n)中渐近紧,再构造H~1(R~n)中的收缩函数,得到有界吸收集在H~1(R~n)中渐近紧,从而得到全局吸引子的存在性. 第二章,我们给出无穷维动力系统全局吸引子的相关理论概念及其存在判别性定理,并且建立了一种在无界域上验证半群渐近紧性的定理和吸引子存在性的定理.作为具体的应用,在第三章我们研究了无界域上半线性抛物方程的全局吸引子的存在性问题. 第四章,我们研究了阻尼非线性双曲方程的渐近行为.对方程的整体强解渐近性问题进行研究,得到比[34]更理想的结论.


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