图谱的相关问题研究

【摘要】：本学位论文主要研究图谱的几个相关问题：从图的对称矩阵、反对称矩阵来研究树幂的最小秩,通过Laplacian矩阵的谱来刻画某类单圈图.通过反邻接矩阵的谱来研究具有极值斜能量(skew-energy)的双圈图. 主要内容有： 1.在第三章,我们主要研究树幂的最小秩.在文献[26]中,R. Brualdi, L. Hogben, B. Shader猜想：如果T≠K1,n-1,那么mr(T3)≤mr(T2)-1,这里K1,n-1是有n个顶点的星图.本章我们证明了这个猜想并不成立,给出了不满足猜想的反例；并利用构造矩阵和零强迫集的方法得到了不含二度顶点的树的二次幂以及二次幂和三次幂之间的大小关系；完全刻画了毛毛虫的k次幂的最小秩；部分刻画了毛毛虫的幂的反对称矩阵的最小秩(简称为最小斜秩). 2.将一条路的一个端点与阶为r的圈Cr相连,另一个端点与阶为p的星图Sp的中间点(即度大于1的顶点)相连,得到图Gr,p.在第4章,我们证明了当r为偶数时,如果np+4,Gr,p由它的Laplacian谱确定；如果n=p+4,则Gr,p不能由它的Laplacian谱确定. 3.设G是一个有向图,S(G)是图G的反邻接矩阵.G的斜能量是S(G)的特征值的绝对值之和.在第五章,我们刻画了具有最大和最小斜能量的双圈图.

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