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求解Volterra积分微分方程的高阶方法

陶霞  
【摘要】:本文讨论带光滑核的第二类Volterra积分微分方程以及奇异摄动Volterra积分微分方程的高阶数值格式。方程中积分项的出现,表明该问题具有记忆性质。如何快速高效地求解这类方程是计算数学领域关心的重要问题之一。近年来,由于意识到谱收敛的优越性,人们逐渐开始用谱方法来求解这类方程。本文采用谱Jacobi-Petrov Galerkin方法和伪谱Jacobi-Petrov-Galerkin方法求解第二类Volterra积分微分方程。而后者的主要思想是采用离散带权内积近似逼近前者中的带权内积。本文从理论上证明了这些方法在Lω2和L∞意义下具有指数收敛性质。数值结果表明这些方法不仅具有运算速度快的特点,而且的确能达到谱收敛精度。受此启发,本文证明了当核函数和源函数满足一定的条件时,方程的解满足所谓的M条件。在此基础上,进一步证明了两类重要的谱方法,即谱和伪谱Legendre-Petrov-Galerkin方法以及谱和伪谱Chebyshev-Petrov-Galerkin方法的超几何收敛性。 对于奇异摄动Volterra积分微分方程,本文首先证明了解的正则性。对于这类问题,当小参数ε趋于零时,解在边界层变化非常快。本文通过选取局部加密网格策略和高阶数值格式相结合的方法来求解此类问题。首先,采用间断有限元方法求解,并证明了该方法的稳定性。当核函数正定时,本文进一步证明了在Shishkin网格下DG方法具有一致收敛性质。在边界层区域,DG解在L2意义下具有(?)(lnN/N)p阶收敛;节点处DG解的数值通量具有(lnN/N)2p+1阶的超收敛性。数值算例不仅验证了该方法稳定,而且DG解在L2范数下能达到p+1阶最佳收敛;节点处DG解的数值通量具有2p+1阶的超收敛性。随后,本文采用耦合方法求解该方程,即在边界层区域,运用连续有限元求解;在外部区域,运用间断有限元求解。对于正定核情形,本文给出了解的存在唯一性证明。数值算例表明,在Shishkin网格下,该方法不仅稳定,而且解在L2范数下能达到p+1阶最佳收敛性;在节点处的数值解具有2p阶的超收敛性。耦合方法在Shishkin网格下同样具有一致收敛性质。


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