插值问题的统一求解算法及复杂曲面B样条重建

【摘要】：本文提出了复杂曲线曲面插值问题中反求控制顶点的统一求解算法以及复杂曲面B样条重建的虚拟型值点方法。 在以参数三次B样条曲线P(t)=sum from j to (N_(j,4)(t)P_(j+2))和三次B样条曲面P(u,w)=sum from i=0 to m+3 sum from j=0 to n+3 (N_(i,4)(u)N_(j,4)(w)P_(i,j))作为基本数学模型构造自由型曲线曲面时，工程上常常首先遇到由型值点反求控制顶点问题。对于简单曲线曲面(不含重节点)，常用节点插值法导出反求控制顶点的方程组，该方程组的系数距阵呈三对角阵，用追赶法即可求解；但对于复杂曲线曲面(含重节点)，用同样的方法得到的方程组奇异，无法求解。1984年徐佩军、司徒学军提出了分段反解算法，它把重节点全部看成了分段之后的端点，成功地避开了重节点，但它一遇到重节点就必须分段，对不同重数节点的处理也较繁琐，分段求出控制顶点之后还需进行一系列的处理，而且应用于复杂曲面插值问题时，只适用于含一整排或连续两排重节点的情形。本文提出的统一求解算法无须分段，对不同重数的节点作一次性处理，由一个统一的方程组反求出所有控制顶点，它适用于复杂曲线曲面的各种情形，文中都有实例为证。为了更灵活地调节插值重节点处曲线曲面的光滑性，文中引入了光滑因子；该算法同样适用于各种端点条件(自由端、夹持端、抛物端)，文中给出了相应系数的计算公式。 曲面重建是当今曲面造型技术的国际热点之一，它在轿车车身设计、人脸类雕塑曲面的动画制作、医学图象三维重建等领域发挥了重大作用，代表性的曲面重建方法主要有分片线形方法、细分曲面方法、隐式曲面方法、参数曲面方法等，其中以B样条为工具的曲面重建方法还不够成熟，Eck和Halstead在这方面做了一些开创性的工作，Halstead于1996年提出利用B样条曲面构造逼近需要重建的曲面法向的方法，可这种方法还是不能重建有尖点和棱角的曲面。本文提出的虚拟型值点方法突破了这一局限，能成功重建夹棱线、直纹面、尖点、棱角或平面片的复杂B样条曲面，文中的实例验证了这一方法的可行性。