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离散时间的红利模型及Markov链转移概率在其中的应用

谭激扬  
【摘要】: 风险理论已经发展了很长一段时间,关于经典风险模型(特别是连续时间的经典风险模型)的理论已经发展成了一个较为完善的体系。毫无疑问,经典风险模型的理论为保险公司的险种设计及风险管理起到了重要的作用。De Finetti于1957年在纽约召开的国际精算学术会议上报告了一篇论文,文中首次提出了保险风险模型的分红问题,并用它来更为现实地反映保险公司的剩余现金流。显然,红利的引入能为保险公司提供更多有价值的理论依据,特别地,为保险公司设计带红利的险种及其管理提供了理论依据。最近,风险理论中的分红问题引起了学者的很大兴趣。但是基本上都是考虑连续时间风险模型中的红利问题。然而,引入红利的离散时间风险模型不但有其固有的研究价值,作为连续时间的风险模型的近似也有它研究的意义,而且保险公司的实际操作不可能连续时间进行,而只能在离散时刻进行。所以,本文考虑了离散时间风险模型中的红利问题。 关于红利问题,本文对两个离散时间的红利模型作了讨论。这两个模型在本文中分别称作红利模型(Ⅰ)和红利模型(Ⅱ)。对这两个模型的讨论主要采取两种方法:Gerber-Shiu期望贴现罚金函数方法和本文提出的Markov链转移矩阵方法。其中Gerber-Shiu期望贴现罚金函数法自提出以来,在连续时间模型中的应用比较广泛而且相当有效。但是很少在离散时间模型中看到它的应用,原因是其运用的难度。本文尝试着用这种方法得到了一些满意的结论。而Markov链转移矩阵法在当前的文献中很难见到,其原因可能是此法计算量大,也可能是因为这种方法只能在离散时间模型中或对连续时间模型离散化后的模型中才能运用,而离散时间模型的研究往往比连续时间模型难度大。可以认为,在当前计算机技术高度发展的情况下,Markov链转移矩阵法值得大力推广,这也是本文撰写的一个初衷。 红利模型(Ⅰ)是一个随机支付红利的离散时间模型。这一模型是在复合二项模型的基础上引入红利支付而修正了的模型。我们假设保险公司在盈余大于或等于某一给定的非负整数的红利界(门槛)x时,保险公司以概率q_0支付1个单位的红利给受保者或本公司股票的持有者。本文第二、三、四章讨论这个模型。 在第二章中,我们推导出了这个红利模型的罚金函数Φ(0),Φ(1),…,Φ(x)满足一个线性方程(组),并且运用矩阵论的知识证明了这个线性方程组在正的安全负载条件下存在一个唯一的解。而当u>x时,我们获得了罚金函数Φ(u)满足的两个递推公式。接着我们推导出了罚金函数满足的一个渐近估计公式。上述公式的获得经历了一个非常复杂的推导过程,并且对它们的推导完全异于连续时间模型的推导,很难借鉴连续时间模型。根据罚金函数,我们能获得许多重要的风险量所满足的线性方程组、递推公式以及渐近估计公式,例如:(本文提供的)最终破产概率、破产时赤字的分布函数、破产时赤字的母函数、破产前一时刻盈余的概率函数等。在本章的最后,我们运用所得的公式对上述风险量进行了数值计算,获得了十分满意的效果。 在第三章中,我们用另一方法——Markov链转移矩阵法推导了红利模型(Ⅰ)一些重要风险量的矩阵表达式。可喜并难得的是这些表达式全是显式形式的。运用这些矩阵表达式计算出的结果与第二章中数值计算结果完全吻合。这一章的论述过程大致如下。在假设条件下,保险公司的盈余过程U(t)是一个初始分布为单点分布的齐次马氏链,如果在停时(破产时刻)T处kill这个过程所得的killed过程U(t∧T)仍然是一个齐次马氏链。运用这个killed过程的一步转移概率矩阵我们首先推导出了破产时刻、破产前一时刻的盈余和破产时的赤字的联合概率函数。从这个联合概率函数我们可以求出各边际分布,从而获得有限时间内的破产概率、最终破产概率、破产时赤字的分布函数、给定破产(或破产时刻)的条件下破产时赤字的条件分布函数等。运用这一章的公式进行计算时显然计算量巨大。但值得一提的是,我们获得了一些第二章中无法得到的风险量,例如,有限时间内的破产概率、赤字的条件分布等。 在第四章中,我们在正的安全负载的条件下考虑红利模型(Ⅰ)的负盈余时间,即保险公司的盈余处于赤字状态的时间。如果允许保险公司在破产之后仍然正常经营,或迟或早盈余将回到零状态,以后将有可能第二次破产、第三次破产……,我们发现破产次数Ⅳ的分布有两种情况:(1)当初始盈余u=0时,N服从几何分布;(2)当u≥1时,N服从如下分布: 所以我们就上述两种情况,分别推导了第一次负盈余时间、以后备次负盈余时间以及负盈余时间总和的一阶矩、二阶矩、母函数、分布函数(矩阵表达式)。值得强调的是,负盈余时间与首达时(盈余从0出发首次到达某一大于0的给定水平的时间)的分布有着密切的关系。首达时分布的推导已有一套成熟的方法,值得庆幸的是这套方法能成功地运用到红利模型(Ⅰ),这就是本章的切入点。 我们常见的复合二项模型,即Gerber(1988)最初定义的模型假设了单位时间内的保费收入为1个单位、每次索赔的量都是保费率的正整数倍,这不具有一般性。因此我们在第五章对这个模型作了改进,考虑一个任意正整数保费率的复合二项模型。这个模型的Gerber-Shiu期望贴现罚金函数的推导遇到了严重的困难。所幸的是我们仍然获得了罚金函数满足的一个线性方程、一个上界、一个下界以及一个不完善的递推公式。上述这些公式虽然不能精确地求出罚金函数,但可为保险公司提供一个粗略的风险估计,并且在运用第六章的公式(矩阵表达式)进行数值计算时可用来作误差估计。第六章的矩阵表达的公式虽然是精确的表达,但数值计算时只能作近似计算,其误差不太好估计,第五章中的公式正好弥补了这一不足之处。 在第六章中,我们提出红利模型(Ⅱ),它是在第五章改进了的复合二项模型中引入红利支付而得到的模型。与红利模型(Ⅰ)对比,—个主要的区别是红利的支付不是随机化决策决定的。我们假设当盈余大于或等于给定的红利界时保险公司就支付1个单位的红利。红利模型(Ⅱ)是复合二项模型的推广,因而所得结果全部包含了复合二项模型的结果。本章所采用的方法主要是Markov链转移矩阵法(与第三章类似),这比第五章中的罚金函数法有效得多,并且所处理的模型更为广泛。这也就是本章的目的所在。 Markov链转移矩阵法值得推广不仅体现在处理离散时间模型中的强大功能,我们也可以用它来对许多连续时间模型的风险量作近似计算。为了抛砖引玉,在第七章中我们考虑一个连续时间风险模型——Sparre Andersen模型。我们用Markov链转移矩阵法成功地推导出了这个风险模型的最终破产概率的近似计算公式以及上下界。在运用我们提供的公式进行数值计算时有一个显著的优势,那就是所得的近似值与精确值之间的误差从理论上来说是可以控制的,即误差可以控制到事先给定的任意水平。 从本文可以看出,Gerber-Shiu期望贴现罚金函数法在风险理论中有其独特的优势——计算量小,但在离散时间风险模型中运用时困难不小,这方面难题的解决还有待更多的同行的参与。对比之下,Markov链转移矩阵法在风险理论中具有广阔的应用前景。本文仅仅提出两个红利模型,我们还可以设计更多更复杂的离散时间的红利模型,并且还可以换个角度来考虑红利问题,例如最优红利问题。 本文表格中所有数据是作者自己使用S-Plus统计软件编程计算得到的。


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