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《湖南师范大学》 2007年
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哈密尔顿系统有限元的守恒性和辛性质

汤琼  
【摘要】: 哈密尔顿系统是最重要的动力系统。冯康院士曾指出,一切真实的无耗散的物理过程都可表示为这样或那样的Hamilton形式,它们都是常微分或偏微分方程组。Hamilton系统有两个最重要的特性:守恒性和辛结构。在数值计算中能否保持这些特性具有重要意义。1983年冯康研究此问题,他惊讶地发现,此前这里竟是一片空白,许多经典的算法都不适应,计算几万步后有时已面目全非。他1984年首创性提出辛差分算法,并作了深入系统的研究,开辟了一大片研究新领域。以后国内外许多学者作了多方面推广和广泛应用。冯康的这项首创工作得到了国际一致公认。 但是任何离散算法,一般不可能同时保辛又保能量(Ge-Masden定理)。辛差分算法很好地保辛,但只在格式精度意义下保能量。而许多学者认为,有时保能量更重要。因此我们转向有限元法,却发现至今有关研究极少。而我们的研究表明,有限元总是保能量的,对线性系统也是辛的,对非线性系统是高精度保辛的,而且长时间计算稳定且精度高,效果非常好。这些结论已刻划了有限元的基本特征。因此有限元法是与辛差分算法完全不同的另一种算法,从另一方面弥补了辛差分算法的不足。本研究是对辛算法的一次重要推进。 本文主要创新点如下: (1).首次系统深入研究任意m次有限元解非线性Hamilton系统,证明了在任何节点上能量总是守恒的,因此在相平面上轨道总是稳定的。并首次提出用超收敛分析方法研究有限元的辛性质; (2).对线性Hamilton系统的任意m次有限元,得到了一个深刻的高阶超收敛O(h~(2m+1))新估计,首次证明m次有限元的节点值是2m阶对角Páde逼近,因而是辛格式。此结果与冯康等研究的辛差分格式结论一致; (3).对非线性Hamilton系统的任意m次有限元法,构造了新的辅助问题,并得到误差估计和负范数估计,首次证明m次有限元对每一次步进是高精度O(h~(2m+1))意义下近似保辛的。 (4).在物理平面上考察了轨道在长时间计算中的性态,发现虽然轨道形状改变很小但轨道在乎移,并首次证明轨道平移和周期偏离与计算步数成正比。这种不良的性质以前没有引起注意和研究。 (5).对冯康院士提出的若干重要考题,如谐振子,高低频混合线性系统,非线性Huygens振子,具有混沌现象的Henon-Heiles系统,A_2B分子反映系统经典轨迹计算等,用2次有限元及4阶辛差分格式作了对比计算。计算结果与理论分析吻合,而且计算效果非常好,在某些方面优于同阶辛差分算法。这证实有限元解Hamilton系统有极好的应用前景。
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