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一类半线性方程解的渐近性态和稳定性

赖柏顺  
【摘要】: 本文主要研究全空间R~n上的椭圆型方程:正解的稳定性,无穷远处的性态,以及无穷多个解的存在性.方程(1)是下列Cauchy问题的一种平衡态的形式.其中△=(?)是n维的拉普拉斯算子,T0是一个正常数. 方程(1)起源于黎曼几何,被称为共形内积曲率方程.最初问题的简化形式为方程 △u+K(x)u(?)=0,x∈R~n.这类方程在物理中也有广泛的应用,由于正解的对称性,众多数学家研究径向对称正解的存在性和它们的一些性质,例如单调分层性,无穷远的衰减,以及稳定性等. 众所周知,我们考虑的是全空间问题,这样的无界空间没有紧性,而且方程的第二项F(x,u)在零点有奇性,这些都是我们需要克服的困难,除以上困难外,F(x,u)可能还包含非齐次项,这也对研究造成困难.在本文中,我们考虑方程的径向对称形式,令r=|x|于是方程(1)简化为对以上方程给定初值记方程初值为(?)的解u(α,r)为u_α当F(r,u)满足一定条件时,对每个正的初值u(0)=α0.方程都有正解.当F(x.u)=K(x)u~p+μf(x)时,我们将研究方程(1)极小解的渐进性态,稳定性和慢速衰减正解的稳定性以及无穷多个解的存在性;当F(x.u)=|x|~(l_1)u~p+|x|~(l_2)u~q时,我们将重点研究方程(3)的正解在无穷远处的渐进性态.


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