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《中山大学》 2001年
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临界点理论在时滞微分方程周期解的应用

郭志明  
【摘要】: 本篇博士论文主要应用和推广临界点理论来研究含有偏差变元非线性微分方程的周期解、多重周期解与次调和解的存在性问题.本文共分四章. 第一章简述问题产生的历史背景、发展现状及本文的主要工作. 第二章建立一种新的几何指标理论(称为广义Z_p几何指标理论),它是一个具有维数性质的规范指标,推广了Z_2指标与文献中的一些其它Z_p指标.应用这一指标理论,讨论Hamilton系统与二阶Hamilton系统次调和解的存在性.在相同的假设条件下,我们得到了更多的次调和解,并对R.Michalek、刘嘉荃等提出的猜测给出一个更精确的回答,改进了某些文献中的结果.本章还对位势变号的二阶Hamilton系统进行了讨论,证明了其非平凡周期解存在性的一个结论,从而在一定条件下解决了Antonacci[5]在Nonlinear Anal.T.M.A.上提出的一个公开问题. 第三章首先给出微分方程具有变分框架的几个充分条件,根据这些结论,分别对几类微分差分方程与中立型泛函微分方程建立了适当的变分框架.借助于第二章建立的广义Z_p指标理论,应用最新的方法,我们证明了次线性耦合型时滞微分方程多重周期解存在性定理;并且研究了时滞倍周期的一阶与二阶微分差分方程的次调和解.这些结论即使对于不含时滞的常微分方程组也是最新的.本章还首次应用临界点理论研究中立型泛函微分方程的次调和解,在变分泛函中允许含有时滞变量,从而给出了研究这类方程周期解的新途径. 第四章应用鞍点约化方法与Morse理论,讨论一类时滞微分方程的非平凡周期解,得到了这类方程的一个三周期解存在性定理;利用最近发展的E~+-Morse理论,对一类微分差分方程非常数周期解的个数给出一个下界,将关于自治Hamilton系统与二阶保守系统的有关结论推广到微分差分方程中去.在本章中,我们还给出广义Z_p几何指标理论在含有偏差变元的波动方程中的应用,得到周期解与次调和解存在性的两个结果,即使对正常变元的波动方程,这些结果也是新的. 由于对Z_p几何指标理论作了实质性的推广,成功地将临界点理论应用于研究时滞微分方程的周期解,并解决了若干重要问题.所以,本篇博士论文对泛函微分方程定性理论的发展有重要的价值.
【学位授予单位】:中山大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2001
【分类号】:O175

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【参考文献】
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