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从紧空间到单位闭区间上的连续函数下方图形超空间

吴拿达  
【摘要】:本文分为三章。 在第一章中,我们首先介绍了无穷维拓扑学的发展史;其次,给出本文用到一些的记号,概念和定理;最后,我们介绍了这篇文章的研究背景并给出这篇文章的主要结果。 在第二、第三章中,我们主要讨论X是一个紧度量空间时,X到单位闭区间的连续函数下方图形超空间的结构,这里我们把一个连续函数的下方图形看成是对应的带有Vietoris拓扑(此拓扑会在1.3节中详细介绍)的乘积空间的闭子集。 设X是一个度量空间,本文用USC(X)和C(X)分别表示从X到I=[0,1]的所有上半连续函数之集和所有连续函数之集,用X′表示X的所有非孤立点之集。对f∈USC(X),令↓f={(x,λ)∈X×I:λ≤f(x)},↓USC(X)={↓f:f∈USC(X)},↓C(X)={↓f:f∈C(X)},↓C_0(X)={↓f∈↓C(X):对任意α∈X′有f(α)=0},↓C_(>0)(X)=↓C(X)\↓C_0(X)。↓USC(X)赋予Vietoris拓扑成为一个拓扑空间,它包含↓C(X),↓C_0(X)和↓C_(>0)(X)为其子空间。 第二章我们主要证明若X是一个孤立点集不稠密的紧度量空间,则存在同胚 h:↓USC(X)→Q=[-1,1]~ω使得h(↓C(X))=c_0,这里c_0={(x_n)∈Q:(?) x_n=0}。 在第三章中我们主要讨论X是一个孤立点集稠密的紧度量空间的情况。若X是有限的,我们证明↓USC(X)=↓C(X)≈(同胚于)I~(|X|),这里|X|是X的基数。若X是无限的,我们证明存在两个同胚 h_1,h_2:↓USC(X)→Q使得h_1(↓C_0(X))=s,h_2(↓C_(>0)(X))=c_0,这里s=(-1,1)~ω,但我们不知道↓C(X)同胚于什么。


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