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基于分块插值多项式的二维第二类Fredholm积分方程的快速解法

梁芬  
【摘要】: 在本文中,我们提出一种求解核函数光滑的二维第二类Fredholm积分方程f(x,y)-integral formαtoβintegral formαtoβ(a(x,y,u,v)f(u,v)dudv)=g(x,y),(x,y)∈[α,β]×[α,β]的数值解快速算法,其中a(x,y,u,v)是光滑函数,而g(x,y)在L~2[α,β]~2中。 用数值积分方法离散积分方程,可得线性方程组(I-AW_t)f=g其中I是单位矩阵,A=[A~((i,j))]~(i,j=1)~N,A~((i,j))=[a(x_i,x_k,x_j,x_l)]_(k,l=1)~N,α≤x_1<x_2<…<x_N≤β是离散节点,而W_t是取决于所用数值积分方法的对角矩阵。我们考虑四个变量的函数的插值:把区域[α,β]~4分成相同的子区域,在每个子区域上核函数a(x,y,u,v)用插值多项式进行逼近,在插值多项式逼近的基础上导出矩阵-向量相乘的快速算法,并构造有效的预处理算子。因此,可以用诸如剩余向量校正(RC)等预处理迭代方法,快速地求解积分方程。 我们接着分析逼近的误差和迭代方法的收敛性。可以证明逼近的精度达到O((mn)~(-k)log~4n),其中n是用于逼近的插值多项式的阶数,m是在每个方向上分的块数,而k显示着核函数的光滑程度。 我们还讨论了算法的存贮要求和每步迭代所需要的计算量。我们构造矩阵A的两个逼近矩阵A_a和B_a(计算量都是O(N~2))并使用如下的迭代方法(I-B_aW_t)f~((q+1))=(A_a-B_a)W_tf~((q))+g,q=0,1,2,…我们证明矩阵-向量乘法A_ay和求解(I-B_aW)r=y都只要O(N~2)的计算量。这样每次迭代的计算量也为O(N~2)。存贮量大约为O(N~2),与A的元素个数的平方根成正比。 最后,我们用数值例子来展示算法的效率和精度。


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