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《华南理工大学》 2011年
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基于Lorenz型系统族的三维系统的复杂动力学研究

魏周超  
【摘要】:自二十世纪六十年代美国科学院院士E. N. Lorenz在数值实验中偶然发现第一个混沌吸引子以来,混沌在许多领域中获得了巨大而深远的发展.作为第一个被提出的混沌数理模型—–Lorenz系统,导致了其后近半个世纪以来关于复杂的非线性现实世界的革命性的再认识和重新思考,成为后人研究混沌理论的出发点和基石,是混沌发展史上的一个重要的里程碑,进一步Lorenz型系统族的研究贯穿了整个混沌科学的发展,它几乎与所有混沌科学的重要发展密切相关. 本文研究基于Lorenz型系统族的有且仅有稳定奇点的三种混沌系统的稳定性、分岔和混沌等特性,以及周期参数扰动下的Di?usionless Lorenz方程(DLE)的复杂动力学性质.具体分为五章: 第一章论述了本文研究的背景和意义,简要介绍了分支和混沌理论的发展历史和研究现状,简述了混沌理论的基本知识、混沌分析的定量指标、中心流形理论、高维Hopf分岔理论、混沌的判定方法以及Lorenz系统族的研究历程和同(异)宿轨的研究状况. 第二章研究了仅有稳定奇点的三维二次混沌系统,该系统形式上与已有的Lorenz型混沌系统(包括经典Lorenz系统、Chen系统、Lu¨系统)类似,但本质上不拓扑等价.运用理论与数值相结合方法详细揭示了它的动力学特性,讨论了鞍焦点的Shil’nikov型混沌、非双曲弱焦点型混沌和仅有稳定奇点时混沌的三种情形,获得了系统具有不动点与极限环、不动点与混沌吸引子以及极限环与混沌吸引子共存的结果.在一定条件下得到了系统的混沌不存在性,并证明了奇异退化异宿环存在性.进一步深入研究了该系统在受控状态下的高余维退化Hopf分岔. 第三章研究了一个三维二次自治混沌系统,该系统是著名的含有2个非双曲型奇点的Sprott C系统的推广.对该系统的基本动力学特性进行了分析,验证了系统的混沌性.当奇点全为双曲稳定或者非双曲时,系统会出现混沌、周期、不动点三种吸引子的共存结果.通过对初等动力学性质进行分析以及Lyapunov指数、Poincar′e截面、分岔等理论与数值相结合详细揭示了它的动力学特性.并且得到该系统随参数变化时对应的丰富复杂的动力学结果.特别的是在奇点均渐进稳定的参数区域内,系统的四种不同吸引子演变过程. 第四章在三维二次多项式自治系统研究的基础上,获得了含有指数项的三维混沌系统,分析了该系统的初等动力学性质和混沌特性.当系统在发生Hopf分岔之后,出现稳定奇点和混沌吸引子共存的特性.通过对其线性化系统的详细分析,数值发现可能有无穷多个奇异退化异宿环.同时随着奇异退化异宿环的消失,伴随有周期轨道和混沌吸引子的产生,这对三维自治混沌系统的混沌机理和吸引子结构的理解具有很大的帮助. 第五章对单参数的Di?usionless Lorenz方程在Rayleigh数具有周期参数扰动的情况下进行分析和研究.将具有周期参数扰动的Di?usionless Lorenz方程转化为带扰动的广义Hamilton系统.运用广义Melnikov方法获得了周期扰动对DLE的混沌消失判据,得到周期扰动的DLE从混沌状态进入低周期轨道的条件,同时相应的数值结果证实了结论的正确性与理论的有效性.
【学位授予单位】:华南理工大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2011
【分类号】:O175

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