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非线性波方程中几个问题的研究

傅仰耿  
【摘要】:非线性波方程是描述自然现象的一类重要数学模型,也是数学物理特别是孤立子理论研究中的重要内容之一.本文利用单调动力系统理论、几何奇异摄动理论、方程的守恒律以及Sobolev空间等数学方法与工具,研究了非线性波方程中的几个问题:波前解的存在性、尖孤立子的稳定性以及解对初值的非一致连续性.本文主要的研究工作如下: 第二章研究KdV-Burgers方程和KBK方程波前解的存在性.由于波前解实际上对应行波系统的异宿轨,我们首先利用单调动力系统理论证明了KdV-Burgers方程波前解的存在性,并获得存在性的一个充分条件.值得强调的是,一些已知精确波前解的条件是我们条件的特殊情况;其次,利用几何奇异摄动理论,证明了充分小耗散情况下KBK方程波前解的存在性.此外,利用Matlab数值模拟的结果也证实了我们的分析. 第三章研究带强色散项DP方程尖孤立子的稳定性.由于带强色散项DP方程的守恒律与DP方程是一样的,利用研究DP方程尖孤立子稳定性的方法,我们证明了带强色散项DP方程尖孤立子的稳定性.此外,我们的方法不仅可以证明带强色散项Camassa-Holm方程尖孤立子的稳定性,并得到更多的稳定性信息,而且可以直接证明一类带色散项DP方程非零边界尖孤立子的稳定性. 第四章研究周期DP方程解对初值的非一致连续性.通过构造近似解以及做实际解的适定性估计,我们证明了在s 3=2的Sobolev空间Hs(T)上其解对初值是非一致连续的,从而把先前s≥2的结果推广到已知适定性的整个区间. 第五章研究一类广义周期Camassa-Holm方程解对初值的非一致连续性.通过构造近似解以及做实际解的适定性估计,我们证明了在s 7=2的Sobolev空间Hs(T)上其解对初值是非一致连续的.


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