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《华南理工大学》 2017年
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一类修改的Lorenz型五维超混沌系统的复杂动力学研究

白美丽  
【摘要】:自从Lorenz于1963年首次发现混沌吸引子以来,混沌理论在很多领域都得到了前所未有的发展,比如,安全通信、神经网络、非线性电路及数学等领域.对于超混沌的研究是建立在混沌系统的基础之上的.与混沌系统相比,超混沌系统具有至少含有两个正的Lyapunov指数的更复杂的动力学行为,系统的随机性和不确定性也相应加强.因此,超混沌在工程应用中具有更加深刻的价值.本文首先将一个线性系统与一个三维修改的广义Lorenz系统进行耦合得到一个四维超混沌系统,然后在该四维系统中加线性控制提出了一个新的具有三个正的Lyapunov指数的五维超混沌系统.这个五维超混沌系统具有非常简单的代数结构,但是却表现出非常复杂的动力学行为.特别有趣的发现是当这个五维系统有一个平衡点、三个平衡点或无穷多个平衡点时,均存在具有三个正的Lyapunov指数的超混沌吸引子,并且存在几种类型的共存吸引子.此外,通过诸如相图、Lyapunov指数、分岔图、Poincare映射和功率谱等数值分析途径验证了这个五维系统的超混沌和混沌吸引子的存在性.进一步,该五维系统的双曲及非双曲平衡点的稳定性、Hopf分岔的两个完整的数学表征被严格研究.本文的主要内容如下:第一章为绪论,简要介绍了本文的研究背景、目前国内外的研究现状,包括混沌及超混沌理论的发展趋势.概述了本文中所用的方法和理论.此外,还简述了目前对超混沌的研究情况.第二章基于三维修改的广义Lorenz系统,提出了一个新的具有三个正的Lyapunov指数的五维超混沌系统.与此同时,该系统的Lyapunov指数、超混沌行为被数值分析.此外,对这个五维超混沌系统进行了电路实现,其所得结果与数值模拟结果高度一致.第三章理论分析了这个五维超混沌系统的复杂动力学行为,如双曲与非双曲平衡点的稳定性.除此之外,通过运用高维Hopf分岔理论和严格的符号推理,讨论系统的Hopf分岔问题,得到发生Hopf分岔的条件、Hopf分岔分支出的周期解的近似表达式及相应的分岔方向.第四章探讨了这个新的五维超混沌系统的全局动力学行为.首先根据Lyapunov指数谱、分岔图、Poincare映射等分别验证特有的超混沌动力学性质.当选取适当参数时,该五维超混沌系统可产生超混沌、混沌、周期和拟周期等复杂动力学行为,特别是具有三个正的Lyapunov指数的超混沌行为.当系统的参数取定时,通过改变系统的初值得到吸引子共存的现象,比如超混沌与混沌吸引子共存、两种混沌吸引子共存等.
【学位授予单位】:华南理工大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O415.5

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