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《华南理工大学》 2018年
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几类随机微分方程的指数稳定性研究

李光洁  
【摘要】:随机微分方程广泛应用于科学与工业中,比如金融、数理经济、神经网络、生物、控制等.现实系统又不可避免地受到随机扰动的影响而导致不稳定性,因而分析随机微分方程的稳定性很有必要.在随机微分方程的稳定性研究中,Lyapunov函数方法是最经典有效的方法之一.然而,在一般情形下如何构造一个恰当的Lyapunov函数是一个困难的问题.在难以构造一个合适的Lyapunov函数时,数值方法研究随机微分方程的稳定性就显得十分必要,并成为研究随机稳定性的一个重要方法.本学位论文主要讨论了带Markov切换、带Markov切换Poisson跳以及G-Brown运动驱动的三类随机微分方程真实解的指数稳定性与数值解的指数稳定性之间的相互联系;在一定条件下:建立了如果随机微分方程是指数稳定的,那么可得其数值方法是指数稳定的,反之,如果其数值方法是指数稳定的,那么亦可推出随机微分方程是指数稳定的理论.由此获得随机微分方程的指数稳定性和其数值方法的指数稳定性之间的充分必要条件.进而,避免了Lyapunov函数方法而采用数值方法研究随机微分方程的稳定性,这就为随机微分方程稳定性的研究提供了另一种途径.具体研究内容如下:第一章,简述本论文的研究背景,回顾随机微分方程数值模拟稳定性的研究进展,并简要介绍随机分析的相关概念与理论以及G-Brown运动.第二章,主要研究在全局Lipschitz条件下,当p ∈(0,1)时,带Markov切换的随机微分方程是p阶矩指数稳定的当且仅当应用到该随机微分方程具有充分小步长的split-step随机θ-方法是p阶矩指数稳定性的.本章还证明了带Markov切换的随机微分方程的p阶矩指数稳定性和其split-step随机θ-方法的p阶矩指数稳定性分别蕴含了该方程的几乎必然指数稳定性和其数值方法的几乎必然指数稳定性.进而,在一定条件下,无论是带Markov切换的随机微分方程是p阶矩指数稳定的还是其split-step随机θ-方法是p阶矩指数稳定的均可推出该方程和其数值方法都是几乎必然指数稳定的.最后,通过数值算例支持理论分析的正确性.第三章,主要研究在全局Lipschitz条件下,当p ∈(0,1)时,带Markov切换Poisson跳的随机微分方程是p阶矩指数稳定的当且仅当应用到该随机微分方程具有充分小步长的split-step随机θ-方法是p阶矩指数稳定的.本章还证明了带Markov切换Poisson跳的随机微分方程的p阶矩指数稳定性和其split-step随机θ-方法的p阶矩指数稳定性分别蕴含了该方程的几乎必然指数稳定性和其数值方法的几乎必然指数稳定性.进而,在一定条件下,无论是带Markov切换Poisson跳的随机微分方程是p阶矩指数稳定的还是其split-step随机θ-方法是p阶矩指数稳定的均可得出该方程和其数值方法都是几乎必然指数稳定的.最后,通过数值模拟验证所得理论结果的有效性.第四章,主要研究在全局Lipschitz条件下,当p ∈(0,1)时,G-Brown运动驱动的随机微分方程是p阶矩指数稳定的当且仅当应用到该随机微分方程具有充分小步长的split-step随机θ-方法是p阶矩指数稳定的.本章还证明了 G-Brown运动驱动的随机微分方程的p阶矩指数稳定性和其split-step随机θ-方法的p阶矩指数稳定性分别蕴含了该方程的拟必然指数稳定性和其数值方法的拟必然指数稳定性.进而,在一定条件下,无论是G-Brown运动驱动的随机微分方程是p阶矩指数稳定的还是其split-step随机θ-方法是p阶矩指数稳定的均可推出该方程和其数值方法都是拟必然指数稳定的.最后,通过数值例子说明所得结果的有效性.
【学位授予单位】:华南理工大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2018
【分类号】:O211.63

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