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《华南理工大学》 2010年
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几类非线性数学物理方程的行波解

张本龚  
【摘要】: 本学位论文主要对弹性杆方程、Camassa-Holm-γ方程、广义Camassa-Holm方程、广义Degasperis-Procesi方程、量子Zakharrov-Kuznetsov方程等的行波解进行研究.利用微分方程的定性理论、动力系统的分支方法、数值模拟和同伦扰动法、辅助函数法以及双线性方法,获得了上述几类方程的新的孤立波解、多孤子解、周期波解等精确行波解和近似孤立波解.同时,在前人的基础上,我们证明了Camassa-Holm-γ方程多尖孤子解的轨道稳定性.本文主要的研究工作如下: 第一章是绪论,主要介绍了孤立子的发现与发展历史、研究现状、求解非线性方程的主要方法以及取得的成果.最后简述了本文的主要内容. 第二章运用微分方程的定性理论和动力系统的分支方法对弹性杆方程进行研究.不仅获得了该方程的精确孤立波解,并且发现了一个新的奇特的现象.当初值趋近于某值时,周期波失去光滑性,变成了周期的激波.当初值等于该值时,周期的激波突然变成光滑的周期波.在动力系统中,这种现象表现为系统的某条轨道可以穿过奇线. 第三章研究Camassa-Holm-γ方程多孤子解的轨道稳定性问题.首先,详细介绍了Constantin等人对Camassa-Holm方程单孤子解的稳定性结论.然后,在总结前人的基础上,证明了Camassa-Holm-γ方程多孤子解的轨道稳定性. 第四章利用同伦扰动法和辅助函数法,研究了广义Camassa-Holm方程和广义Degasperis-Procesi方程.获得了它们近似孤立波解和精确行波解,并对其近似孤立波解与精确解进行了比较,证明了这种解在工程应用中的有效性. 第五章利用辅助函数法和双线性方法,研究了量子Zakharrov-Kuznetsov方程行波解问题.获得了量子Zakharrov-Kuznetsov方程系列精确行波解.同时,对于量子Zakharrov-Kuznetsov方程,我们利用双线性方法获得了其1-孤子、2-孤子、3-孤子解,并可以推广到N-孤子解,其中N≥3. 第六章我们简要的对2元的Camassa-Holm方程进行了阐述. 最后,在总结全文的基础上,提出了有待进一步研究和探索的问题.
【学位授予单位】:华南理工大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2010
【分类号】:O175.29

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【引证文献】
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