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动力系统中若干问题的研究

谭枫  
【摘要】: 本文研究拓扑动力系统中的混沌理论,涉及相互独立而又有着紧密关联的两个方面的问题. 第一方面:拓扑动力系统的研究包括研究由连续映射的迭代产生的系统和由保测变换的迭代产生的系统。对于前者,有一个分析拓扑中的经典的定理,Mycielski定理,在研究该类系统的混沌性质时日益显现出它的重要性。然而,对于后一类系统的相应研究却明显缺乏相当的工具。本文研究了测度空间上满测度关系族的“相关集”,填补了这个空白。在第二章中,我们探讨概率空间中与Mycielski定理相对应的问题。得到了以下结果(见本文定理2.4.2) 设{R_γ}_(γ∈Γ)是概率空间(X,B,μ)上具有满测度的关系的一个可数族,即对于每一个γ∈Γ,有某一个正整数S_γ使得R_γ(?)X~(sγ),μ~(sγ)(R_γ)=1。如果(X,B,μ)有一个正则基,其势不超过连续统的势,则存在一个集合K(?)X,μ~*(K)=1,使得对于每一个γ∈Γ和K中任意两两不同的s_γ个元素x_1,…,x_(sγ),有(x_1,…,x_(sγ)∈R_γ。其中,μ~*是测度μ的诱导外测度。此外,在本章的最后,我们给出了这个结论在研究由保测映射迭代所决定的动力系统中的一个应用。 尽管Mycielski定理和上述结果有着相当类似的表达方式,它们分别应用于保测变换系统和连续映射系统的研究时也有着相当类似的效能,但是两者的证明思路和技巧却是截然不同的。此外,在本文第三章中还给出了Mycielski定理的一个改进模式,其论证方式相当简洁和明快。相关的结论陈述如下(见本文定理3.2.2): 设X是一个完备可分的度量空间.记B为X上的Borelσ-代数。设α={R_γ}_(γ∈Γ)是X上的密集关系的一个可数族(即,对任意γ∈Γ,存在一个r_γ≥1,使得R_γ(?) X~(r_γ)是一个稠密的G_σ集).我们证明了:存在一个强稠密的子集K(?)X(即,对任意稠密G_σ集G,如果A∈B,有A∩G≠(?),那么K∩A≠(?)使得任意γ∈Γ,对K中任意r_γ个互异元素x_1…,x_(r_γ),有(x_1,…,x_(r_γ))∈R_γ。进而,我们指出前述结论改善了Mycielski定理。作为应用,在这一章的最后我们指出:动力系统中某些已知的结论(在某种意义上)得到了改善。 第二方面:在拓扑动力系统混沌理论的研究中,Li-Yorke混沌和分布混沌两者受到研究者的较多重视。但历来对于两者的研究都是相互孤立地进行的。我们对此给出了统一的处理,对于每一个Furstenberg族F,(即满足向上遗传的正整数的子集族)定义了一种F-混沌,使得Li-Yorke混沌和分布混沌分别称为相应于某种特定族F的族混沌。文中首先给出了以下定义:设(X,f)是一个拓扑动力系统,F是一个Furstenberg族.积空间X×X的对角线记为Δ,即Δ={(x,x)∈X×X:x∈X}。对任意δ>0,对角线Δ的δ-平行体记为[Δ]_δ。设U(?)X,x∈X,记N_f(x,U)={n;f~n(x)∈U},华南师范大学博士学位论文并且称为点x在集合U中的回复时间集。在乘积系统(X×X,f×f)中点(x,y)∈X×X称为系统(X,f)的一个F-攀援偶对,如果对任意∈>0,N_(f×f)((x,y),[Δ]_∈)∈F,并且存在δ>0,使得N_(f×f)((x,y),X×X-[Δ]_δ)∈F。称X的子集C为系统(X,f)的一个F-攀援集,如果任意两个点x,y∈C,x≠y,(x,y)都是F-攀援偶对。 这个定义使得混沌理论讨论的对象得到了相当大规模的拓广。此外,作为应用的例子,我们对符号系统进行了研究,并且得到了一些新的结果。即令是局限于以前人们讨论的Li-Yorke混沌和分布混沌,相关的结果也是新的。 为了更大地拓广混沌理论研究的范围,在上述工作的基础上,本文提出了相对于双Furstenberg族的偶对而言的混沌概念。其定义可以表述为: 设(X,f)是一个拓扑动力系统,F_1和F_2是两个Furstenberg族。在乘积系统(X×X,f×f)中点(x,y)∈X×X称为系统(X,f)的一个(F_1,F_2)-攀援偶对,如果对任意∈>0,N_f((x,y),[Δ]_∈)∈F_1并且存在δ>0,使得N_(f×f)((x,y),X×X-[Δ]_δ)∈F_2。 称X的子集C为系统(X,f)的一个(F_1,F_2)-攀援集,如果任意两个点x,y∈C,x≠y,都是(F_1,F_2)-攀援偶对。 在本文的第四章,我们将给出系统是(F_1,F_2)-δ-混沌的一个判据(见本文定理4.2.3)。本文中给出了例子作为该判据的一个应用,并且我们证明了这是一个((?)(1),(?)(1/e~(1/2))-δ-混沌系统,却非((?)(1),(?)(1))-混沌系统。由此说明了某些由双Furstenberg族的偶对描述的混沌可以不能由单个的Furstenberg族来描述。从而也指明提出双Furstenberg族混沌这个概念的必要性。(这个例子同时也回答了近期Balibrea和Smital提出的一个有待解决的问题。)


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