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《深圳大学》 2017年
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数学证明中的逻辑

许启胜  
【摘要】:数学真理是由证明建立的。从欧几里德开始,人们做数学证明已有两千多年的历史,然而什么是证明这个问题直到20世纪30年代才开始研究,可见知其然和知其所以然确有不同。本文研究一个简单且基本的问题:在通常的数学证明中,逻辑究竟何在?因为我注意到,给定一个通常的数学证明,要指出在每一步中,其理由或者根据究竟是逻辑的,还是数学的,并不是一件容易的事。在通常的数学证明中,逻辑似乎是隐而不见的,需要探究方能显现。本文以整数中的证明为例,研究如何找出数学证明中的逻辑,通过对常见的数学证明进行重构,我发现一种矢列演算的格式特别适合于回答我们的问题:即数学证明中的逻辑究竟何在?每一矢列有前提有结论,通过运用形式规则,把一个矢列转变为另一个矢列。本文分为如下五个部分:本文第一部分主要为提出问题,即在数学证明过程中,往往会省略一些步骤,以至于不能从这些数学证明直观看出其过程的每一步骤的道理,每一步推导过程从哪里来以及如何得出的等等问题。为详细论述文章第一部分的问题,所以本文在第二部分以大家都非常熟悉的整数为例。通过从整数的公理系统为前提,第一节介绍整数的九条代数公理,并运用这个公理系统证明一个简单的例子;第二节介绍整数的序公理及序的相关证明,并且追问这些证明过程的缘由。在众多演算规则中,我发现有一种矢列演算的格式特别适合于回答“数学证明中的逻辑究竟何在?”的问题,因此在接下来的第三章将详细介绍这种矢列演算系统,并且论述该系统的四个推理规则:结构规则、联结词规则、量词规则和等号规则。第四部分为形式证明,利用第三章中介绍的矢列演算规则对第二章的例子重构。通过重构能够清晰、直观的看到在这些数学证明中其每一步的道理以及所它们相互之间所蕴含的逻辑规则。本文第五章为总结部分。
【学位授予单位】:深圳大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O14

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