一类拟线性退缩椭圆方程Neumann问题存在无穷多正解的研究

【摘要】： 目前，由于椭圆方程大量出现在几何，物理等问题中，因此一直受到人们的重视，关于二阶椭圆型方程，其Dirichlet问题存在无穷多个解的研究已经有很多了，但是关于Neumann问题正解的多重性的研究还不多，本文主旨为在前人研究的基础上，考虑一类退缩拟线性椭圆型方程Neumann问题的非平凡解，在适当的条件下这类问题存在无穷多正解。 本文共分为三章，第一章是本文的概述，主要介绍了二阶椭圆型偏微分方程理论的背景，发展及现状。第二章的内容主要是针对边界条件具有超临界的情况，第三章的内容主要是针对方程具有临界指数增长的情况。 第二、三章都是本文的主体部分，以下分别介绍这两章的主要组成。 第二章分为3节。 第2．1节：预备； 关于具有超临界边界条件这样的情况，讨论如下问题：其中3≤2α＜N，0＜2m+1＜1，2α＜2q+1＜q~*-1，q~*=2αN／(N-2α)，2α≤q_((?)Ω)~*=2α(N-1)／(N-2α)≤s+1＜2q+2＜q~* 第2．2节：主要引理； 第2．3节：利用“偶泛函的临界点定理”，“翻山引理”和著名的“Ekeland变分原理”证明该问题存在无穷多正解。 第三章分为4节。 第3．1节：预备 主要讨论如下具临界增长的拟线性退缩椭圆型方程的Neumann问题：其中Ω(?)R~N是N维欧氏空间中的光滑有界区域，u≥0，2≤2α＜N，0＜2m+1＜1，2α＜2q+1=q~*-1，q~*=2αN/(N-2α)，at≤g(t)≤bt，t∈[0，+∞]，g(0)=0。 第3．2节：主要引理 第3．3节：利用集中紧性原理证明g(|▽u_n|~α)|▽u_n|~(α-2)(?)u_n/(?)x_i的弱连续性 第3．4节：偶泛函的临界点定理，没有(ps)条件的“翻山引理”，Ekeland变分原理证明该问题存在无穷多正解。 最后是罗列参考文献。