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一类拟线性退缩椭圆方程Neumann问题存在无穷多正解的研究

吴姗  
【摘要】: 目前,由于椭圆方程大量出现在几何,物理等问题中,因此一直受到人们的重视,关于二阶椭圆型方程,其Dirichlet问题存在无穷多个解的研究已经有很多了,但是关于Neumann问题正解的多重性的研究还不多,本文主旨为在前人研究的基础上,考虑一类退缩拟线性椭圆型方程Neumann问题的非平凡解,在适当的条件下这类问题存在无穷多正解。 本文共分为三章,第一章是本文的概述,主要介绍了二阶椭圆型偏微分方程理论的背景,发展及现状。第二章的内容主要是针对边界条件具有超临界的情况,第三章的内容主要是针对方程具有临界指数增长的情况。 第二、三章都是本文的主体部分,以下分别介绍这两章的主要组成。 第二章分为3节。 第2.1节:预备; 关于具有超临界边界条件这样的情况,讨论如下问题:其中3≤2α<N,0<2m+1<1,2α<2q+1<q~*-1,q~*=2αN/(N-2α),2α≤q_((?)Ω)~*=2α(N-1)/(N-2α)≤s+1<2q+2<q~* 第2.2节:主要引理; 第2.3节:利用“偶泛函的临界点定理”,“翻山引理”和著名的“Ekeland变分原理”证明该问题存在无穷多正解。 第三章分为4节。 第3.1节:预备 主要讨论如下具临界增长的拟线性退缩椭圆型方程的Neumann问题:其中Ω(?)R~N是N维欧氏空间中的光滑有界区域,u≥0,2≤2α<N,0<2m+1<1,2α<2q+1=q~*-1,q~*=2αN/(N-2α),at≤g(t)≤bt,t∈[0,+∞],g(0)=0。 第3.2节:主要引理 第3.3节:利用集中紧性原理证明g(|▽u_n|~α)|▽u_n|~(α-2)(?)u_n/(?)x_i的弱连续性 第3.4节:偶泛函的临界点定理,没有(ps)条件的“翻山引理”,Ekeland变分原理证明该问题存在无穷多正解。 最后是罗列参考文献。


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