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整数阶与分数阶微分系统的周期性解

刘爱民  
【摘要】:周期性函数包含了各类周期函数、反周期函数和各类概周期函数.各类周期性系统不仅在天文学和经济学中,而且在生态学、通讯理论与控制理论等广泛存在.系统的周期性轨道体现了系统的规律性变化,历来受到诸多学者的重视.而周期性轨道的性态一直是微分方程理论研究的重要分支,尤其是近几十年来取得了实质和全面的发展,其研究成果非常丰富,许多文献和著作都总结和收录了这方面的工作,但是依然仍有许多工作需要我们去深究和拓广. 本学位论文讨论了整数阶与分数阶微分系统的周期性解,基于不同表现形式的不动点定理,在不同条件下,获得了系统存在各类周期性解的充分条件,并且给出了具体的例子说明结果的可行性.全文结构如下: 第一章绪论,简要介绍了研究泛函微分系统周期性解的背景以及必要的预备知识 第二章主要考虑整数阶中立型系统周期解的存在唯一性.首先利用积分因子把方程转化成等价的积分方程,构造适当的算子,然后基于Krasnoselekii's不动点定理,给出了系统存在唯一周期解的一组充分条件.并利用压缩映射原理讨论了周期解稳定性.特别地,消弱了对函数f必须通常要满足Lipschitz条件的限制,所得结果包含了更多的应用范围. 第三章考虑了如下具有多偏差变元的整数阶微分系统反周期解问题.其中τi,e:R→R→R是连续和T-周期的,f,gi:R×R→R也连续T-周期,n≥2是整数T0,i=1,2,…,m当n=2、f(t,χ(t))=tf(χ(t))时,上述方程是多时滞Rayleigh方程.在工程问题中,f通常表示外界阻尼力或者摩擦力,gi(i=1,2,…,m)表示内驱动力,e表示外驱动力,τi表示内驱动力的滞延时问.基于Leray-Schauder度理论和一些分析技巧,获得了系统存在唯一反周期解的新结果. 第四章,讨论了如下分数阶时滞微分系统概周期解的存在唯一性,其中1α2,A:D(A)(?)X→X是一个定义在复Banach空间X中的一个线性稠密扇形算子,f:R×X→X联合连续,而且关于t∈R是一致概周期.基于Banach空间的不动点原理,在A和f满足一定要求的条件下,获得了系统存在唯一概周期解的几组充分条件,所获得的结果在时滞方面改善和推广了分数阶微分方程概自守解的相关结果.


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