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《广西师范大学》 2017年
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某些子群的共轭类数对有限群结构的影响

丁锐芳  
【摘要】:设G是有限群,用μ(G)表示群G的非次正规子群的共轭类数,μc(G)表示非次正规非循环子群的共轭类数.本文我们得到满足条件μ(G)≤2|π(G)|的有限群可解,并给出了μ((G)≤|π(G)|的有限群G的完全分类,以及μc(G)≤9的有限单群的分类.有限群的研究中,利用群的阶、子群的性质、元素的性质等方面来刻画群的结构以及探讨群的相关性质,是有限群论研究的一个重要方向和一种常用的方法.其中通过某些特殊子群的共轭类的个数对有限群结构的研究,一直是非常重要的课题,当然也在课题的研究过程中也出现了许多丰富且有价值的结果.本文主要通过有限群的非次正规及非次正规非循环子群的共轭类数来研究有限群的结构,主要结果如下:定理2.1.1设G是有限群,μ(G)≤2|π(G)|,则G是可解群.定理2.1.2设G是有限群,μ(G)≤2|π(G)|-2,则对某个p∈π(G)G有一个正规的Sylow p-子群 P.定理2.1.3设G是非幂零群,μ(G)≤|π(G)|,则下述结论成立:(1)若μ(G)=1,则G是引理1.2.3中所描述的群之一;(2)若μ(G)= 2,则G是引理1.2.4中所描述的群之一;(3)若μ(G)≥ 3,则G是下列群之一:(3a)G =a,b,c| apα= bq = 1 =cr2,ba=bd1,[a,c]=[b,c]= 1,x-d1 ∈Fq[x]且整除xp-1,q≡ 1(mod p),p,q,r 是互异素数.(3b)G =a,c,b1,b2,...,bn| apα= crβ= =[1 =a,c]a,b1,b2,…,bn)和c,b1,b2,…,bn是所有的q-基本群,p,q,r是互异素数.(3c)G=a,c,b1,b2,…,bn|apα=cγ=1=[c,a]=1 =[c,bi],a,b1,b2,…,bn是q-基本群,γ = r或rs,p,g,r,s是互异素数.(3d)G =a,c,b1,b2,…,bu|aPα=cγ = 1 =[c,a]=[c,bi]i = 1,2,…,n,a,b1,b2,...,bn是q-基本群,p.q.r是互异素数.定理2.2.1设G是有限单群,则有以下结论成立:(1)G = PSL(2,q),q = 4,5,7,8,11,13,27,则相应的非次正规非循环子群的共轭类数,即μc(G)为4,4,9,5,9,8,8.对于群G= SL(2,5),或G = SL(2,7),则群G的非次正规非循环子群的共轭类数为4或9.(2)若群G = S5,A7,PSL(3,3),PSL(3,4),U3(3),U4(2),则有μ(G)≥ 10.定理2.2.2群G = PSL(2,q),其中q=pf,是素因子,q ≥ 4,则有以下结论成立:(1)若 q = 2f,则 =8,q = 5 或 μc(G)≥ 10;(2)若 q = 3f 则μc(G)≥10;(3)若q不属于集合{5,7,8},则μc(G)≥ 10.定理2.2.5设G是有限单群,且满足μc(G)≤9,则G≌PSL(p,q),其中q ∈{4,5,7,8,11,13,27}.
【学位授予单位】:广西师范大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O152.1

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