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《广西师范大学》 2019年
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有限群可解的若干充分条件

刘雪霞  
【摘要】:本文主要研究子群的性质对有限群结构的影响.第一章介绍了研究背景.第二章介绍所需的一些基本概念与基本引理.在第三章,集合/K(G)}对有限群的影响已经被研究出来并且获得一些新结果.在第四章,通过利用群G在其不可约特征标集合以及共轭类集合上的作用之间的关系,得到了Frobenius群的一个特征标刻画.具体结果如下:定理3.1设G是有限群,K(G)={1,m,m+2}.H,N是G的非平凡正规子群,ξ(H)==m,ξ(N)=mm+2,则当G交换时有下列结论之一成立:(1)H∩N=1 时,G H × N,其中 |H|=p,|N|=q,且q-p=2;(2)H∩N≠1 时,K(G)={1,2,4},此时G(?)Z4 × Z2,Z2 × Z2 × Z2,G(?)Z8.定理3.2设G是非交换p-群且K(G)={1,m,mm+2}.则G的阶为33,G的结构可分为两种情况:(1)G=a,b |a32=b3=1,b-1ab=a4);(2)G=a,b |a3=b3=c3=1,[a,b]=c,[a,c]=[b,c]=1.定理3.3设G为非交换且非素数幂阶的可解群.则K(G)={1,m,m+2}当且仅当下列陈述之一成立:(1)G是Frobenius群,G'是G的核且G'是G的极小正规子群,G'在G中有9阶或者pq阶循环补,其中(p,q)=1,q=(P-1)/2;(2)G/N(?)Zp × C3n是G的唯一极小正规子群且N是p-群.且对任意x∈G-N,有 =9.定理3.4设G是非可解群.则K(G)={1,m,m+2}当且仅当下列陈述之一成立:(1)|G/G'| = 9,G'非可解且G'是G的唯一极小正规子群.进一步,对任意3阶元x∈G-G',有|CG(x)|=9;(2)G=G'× Z(G),|Z(G)|=m是素数,G'是单群且ξ(G')=m+2;(3)G有两个正规子群G'和G",G"非可解且G/G"(?)Zp × C3,p=(3n-1)/2,p是素数.并且对任意x ∈ G'-G",|CG(x)|=1或|CG(x)|=3.定理3.5设G为幂零群.则|K(G)| =4当且仅当G是p4阶群,且对G的任意非平凡正规子群M,N,当 |M| = |N| 时,有ξ(M)=ξ(N).特别地,K(G)= {1,p,p2,p3}或K(G)={1,p,2p-1,p2+2p-2}或K(G)={1,p,p2,2p2-1}.定理3.6设群G是非幂零的可解群,G'是G的唯一极小正规子群.则|K(G)| =4当且仅当G是形如Cpn×Irr C3qr或者形如Cpn×Irr Cq3的Frobenius群.定理3.7设G是非幂零的可解群,G的极小正规子群不唯一,且G'不是G的极小正规子群.若对G的任意极小正规子群M,N,有ξ(M)=ξ(N),则|K(G)| =4当且仅当G是形如(Cpm× Cqn)×Irr CN的Frobenius群,且M,N,G'是G的所有非平凡正规子群.特别地,K(G)={1,1+(pm-1)/r,1+(qn-1)/r,1+(pmqn-1)/r}.定理4.2设G是可解群,如果每个χ ∈ Irrm(G)都是拟本原的,则G是交换群.定理4.3设G是M-群,G的导列长为l,则G是关于G(l-1)的相对M-群.
【学位授予单位】:广西师范大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O152.1

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